Picture of the author
Picture of the author
SGK CD Toán 6»Số Nguyên»Tìm hiểu về phép chia hết hai số nguyên ...

Tìm hiểu về phép chia hết hai số nguyên chi tiết nhất

Trong bài này chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về phép chia hết hai số nguyên cùng dấu, phép chia hết hai số nguyên khác dấu, quan hệ chia hết trong tập hợp số nguyên và một số bài tập áp dụng.

Xem thêm

Ở lớp dưới các em đã được học phép chia hai số tự nhiên. Vậy phép chia hết hai số nguyên là gì? Nó có giống với phép chia hai số tự nhiên không? Bài này chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về phép chia hết hai số nguyên cùng dấu, phép chia hết hai số nguyên khác dấu, quan hệ chia hết trong tập hợp số nguyên và một số bài tập áp dụng.


1. Phép chia hết hai số nguyên

Cho a, b ∈ Z và b ≠ 0. Nếu có số nguyên q sao cho a = bq thì ta có phép chia hết a : b = q ( trong đó a là số bị chia, b là số chia, q là thương).

Khi đó ta nói a chia hết cho b. Kí hiệu là: a  b.

Ví dụ:

(-20)  4 vì (-20) = 4. (-5)

(-24)  (-8) vì (-24) = (-8). 3

1.1. Phép chia hết hai số nguyên cùng dấu

Nếu hai số là hai số nguyên dương thì ta thực hiện chia như chia hai số tự nhiên khác 0.

Nếu hai số là hai số nguyên âm thì ta làm như sau:

  • Bước 1: Bỏ dấu “-” trước hai số nguyên âm
  • Bước 2: Thực hiện phép chia hết hai số nguyên dương vừa nhận được ở bước 1.

Ta được thương cần tìm

Ví dụ 1:

72 ⋮ (-3) vì 72 = (-3).(-24). Ta có: 72 : (-3) = (-24)

Ví dụ 2:

(-102)  (-3) vì (-102) = (-3).34. Ta có: (-102) : (-3) = 34

1.2. Phép chia hết hai số nguyên khác dấu

Để thực hiện phép chia hết hai số nguyên khác dấu, ta làm như sau:

  • Bước 1: Bỏ dấu “-” trước số nguyên âm và giữ nguyên số nguyên dương còn lại.
  • Bước 2: Thực hiện phép chia hết hai số nguyên dương vừa nhận được ở bước 1.
  • Bước 3: Thêm dấu “-” vào trước kết quả vừa nhận được

Ta được thương cần tìm

Ví dụ 1:

735  (-105) vì 735 = (-105).(-7). Ta có: 735 : (-105) =(-7)

Ví dụ 2:

(-35)  7 vì (-35) = 7.(-5). Ta có: (-35) : 7 = (-5).

2. Quan hệ chia hết trong tập hợp số nguyên

Cho a, b ∈ Z và b ≠ 0. Khi a  b thì ta gọi a là bội của b và b là ước của a.

Ví dụ 1: 27   (-3) nên 27 là bội của (-3) và (-3) là ước của 27 .

Nhận xét: Nếu a là bội của b thì -a cũng là bội của b .

                Nếu b là ước của a thì -b cũng là ước của a.

Ví dụ 2: 27 là bội của (-3) nên (-27) cũng là bội của (-3)

 (-3) là ước của 27 nên 3 cũng  là ước của 27.

Chú ý:

  • Để tìm các ước (bội) của một số nguyên a bất kì ta lấy các ước (bội) nguyên dương của a cùng với số đối của chúng.
  • Ước của -a là ước của a.
  • Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0
  • Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào.
  • Các số 1 và -1 là ước của mọi số nguyên.

Ví dụ 3:

Tìm các ước của 6:

Ta tìm các ước nguyên dương của 6: {1; 2; 3; 6}

Số đối của các số trên lần lượt là: -1; -2; -3; -6

Vậy tập hợp các ước của 6 là: {1; 2; 3; 6; -1; -2; -3; -6}

Tìm các ước của 9:

Ta tìm các ước nguyên dương của 9: {1; 3; 9}

Số đối của các số trên lần lượt là: -1; -3; -9

Vậy tập hợp các ước của 9 là: {1; 3; 9; -1; -3; -9}

Ví dụ 4:

Tìm các bội của 6 lớn hơn -20 và nhỏ hơn 15.

Ta tìm các bội của 6: {0; 6; -6; 12; -12; 18; -18; 24; -24;...}

Vậy tập hợp các bội của 6 lớn hơn -20 và nhỏ hơn 15 là: {0; 6; -6; 12; -12; -18}

3. Bài tập áp dụng về phép chia hết hai số nguyên

Bài 1: Tính:

a. (-81) : 9

b. 42 : (-6)

c. (-64) : (-8)

d. 15 . (-8) : (-5)

ĐÁP ÁN

Bài giải:

a. (-81) : 9 = (-9)

b. 42 : (-6) = (-7)

c. (-64) : (-8) = 8

d. 15 . (-8) : (-5) = (-90) : (-5) = 18  

Bài 2: Thực hiện phép chia 1750 : 14. Từ  đó suy ra thương của phép chia (-1750) : 14 và (-1750) : (-14)

ĐÁP ÁN

Bài giải:  

1750 : 14 = 125

Từ đó ta có:

(-1750) : 14 = (-125) ; 

(-1750) : (-14) = 125  

Bài 3:  Sử dụng các từ “chia hết cho”, “bội”, “ước” thích hợp để điền vào chỗ trống:

a. -16 ….. -2

b. -18 là …..của -6

c. 3 là ….. của -27

ĐÁP ÁN

Bài giải:

a. Vì (-16) = (-2).8

Nên (-16) chia hết cho (-2)

Vậy từ thích hợp điền vào chỗ trống là:  “chia hết cho”.

b. Vì (-18) = (-6) . 3

Nên (-18) là bội của (-6)

Vậy từ thích hợp điền vào chỗ trống là: “bội”.

c. Vì (-27) = 3.(-9)

Nên 3 là ước của -27

Vậy từ thích hợp điền vào chỗ trống là: “ước”.  

Bài 4: Tìm số nguyên x , biết:

a. 8 chia hết cho x

b. 9 chia hết cho x + 2

c. x chia hết cho 3 và -14 < x < 2

ĐÁP ÁN

Bài giải:

a. Vì 8 chia hết cho x nên x là các ước của 8

Mà các ước của 8 là: 1; -1; 2; -2; 4; -4; 8; -8

Vậy các số nguyên  thỏa mãn yêu cầu là: 1; -1; 2; -2; 4; -4; 8; -8

b. Vì 9 chia hết cho x + 2 nên x + 2 là ước của 9.

Mà các ước của 9 là: 1; -1; 3; -3; 9; -9

Nên ta có các trường hợp sau:

TH1: x + 2 = 1 ⇒ x = -1  (tm)

TH2: x + 2 = -1 ⇒ x = -3 (tm)

TH3: x + 2 = 3 ⇒ x = 1 (tm)

TH4: x + 2 = -3 ⇒ x = -5 (tm)

TH5: x + 2 = 9 ⇒ x = 7 (tm)

TH6: x + 2 = -9 ⇒ x = -11 (tm)

Vậy các số nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán là: -1; -3; 1; -5; 7; -11

c. Vì x chia hết cho 3 nên x là bội của 3.

Mà các bội của 3 là: 0; 3; -3; 6; -6; 9; -9; 12; -12; 15; -15; 18; -18;....

Mặt khác, -14 < x < 2 nên các số nguyên  thỏa mãn là: 0; -3; -6; -9; -12  

Bài 5:  Giải thích tại sao: Nếu hai số nguyên cùng chia hết cho (-3) thì tổng và hiệu của hai số đó cũng chia hết cho (-3) . Hãy thử phát biểu một kết luận tổng quát.

ĐÁP ÁN

Bài giải:

Hai số nguyên cùng chia hết cho (-3) thì được viết dưới dạng : (-3).a và (-3).b (a, b ∈ Z).

Khi đó, tổng hai số là (-3).a + (-3).b = (-3).(a + b) chia hết cho (-3)

Hiệu hai số là (-3).a - (-3).b = (-3).(a - b) chia hết cho (-3).

Từ đó ta có thể suy ra: Nếu hai số nguyên cùng chia hết cho (-3) thì tổng và hiệu của hai số đó cũng chia hết cho (-3).

Tổng quát: Cho hai số a và b thuộc Z, a và b cùng chia hết cho c (c ∈ Z) thì tổng và hiệu của hai số a và b cũng chia hết cho c.   

Trên đây là tổng hợp kiến thức và một số bài tập áp dụng về phép chia hết hai số nguyên. Hy vọng qua bài viết này các em có thể nắm vững các kiến thức về phép chia hết hai số nguyên và có thể ứng dụng tốt trong quá trình học bài và làm bài tập của mình.


Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang

Tác giả: Liên Trịnh

Tìm hiểu về phép nhân số nguyên và các dạng toán chuyên đề lớp 6