Trung điểm của đoạn thẳng là gì? Có những tính chất đặc biệt nào?

Bài toán Trung điểm của đoạn thẳng là một trong những bài toán cơ bản thuộc phần hình học Đoạn thẳng. Tính chất Trung điểm của đoạn thẳng có ứng dụng lớn trong các thiết bị như bập bênh, cái cân, … Vậy để biết trung điểm của đoạn thẳng là gì? Có tính chất như thế nào? Mời các em cùng nghiên cứu bài học dưới đây.

1. Kiến thức cơ bản về trung điểm của đoạn thẳng lớp 6

1.1 Trung điểm của đoạn thẳng là gì?

Trung điểm O của đoạn thẳng PQ là điểm nằm giữa P và Q sao cho OP = OQ.

Từ khái niệm trên, để O là trung điểm của đoạn thẳng PQ cần phải đáp ứng 2 điều kiện sau:

• O nằm giữa P và Q.
• Độ dài đoạn OP = OQ.

Ngoài ra, trung điểm của đoạn thẳng còn được gọi là điểm chính giữa của đoạn thẳng đó.

1.2 Tính chất trung điểm của đoạn thẳng

Nếu O là trung điểm của đoạn thẳng PQ thì

2. Một số bài tập vận dụng tính chất trung điểm của đoạn thẳng

2.1. Dạng 1. Tính độ dài đoạn thẳng

Phương pháp giải: Để tính độ dài đoạn thẳng, ta thường sử dụng các tính chất sau:

- Nếu điểm O nằm giữa hai điểm P và Q thì PO + OQ = PQ.

- Nếu O là trung điểm của đoạn thẳng PQ thì

Bài 1. Gọi Z là trung điểm của đoạn thẳng XY. Tính độ dài hai đoạn thẳng XZ và ZY, biết độ dài đoạn XY = 7cm.

Giải.

Vì Z là trung điểm của đoạn thẳng XY (theo đề bài)

Vậy XZ = ZY = 3,5cm.

Bài 2. Cho điểm X thuộc đường thẳng mn. Trên tia Xm, lấy điểm Y sao cho XY = 6cm. Trên tia Xn, lấy điểm Z sao cho XZ = 4cm. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của XY và XZ.

a) Chứng tỏ X nằm giữa hai điểm Y và Z.

b) Tính độ dài đoạn thẳng PQ.

Giải.

a) Vì X thuộc đường thẳng mn (theo đề bài)

=> Tia Xm và tia Xn là hai tia đối nhau

Mà Y thuộc tia Xm, Z thuộc tia Xn

=> Tia XY và tia XZ là hai tia đối nhau

=> Điểm X nằm giữa hai điểm Y và Z.

b) Vì P là trung điểm của XY nên P nằm giữa X và Y.

         Q là trung điểm của XZ nên Q nằm giữa X và Z.

=> X nằm giữa P và Q nên PX + XQ = PQ

Mà P là trung điểm XY nên

Mà Q là trung điểm XZ nên

=> PQ = 3 + 2 = 5(cm)

Bài 3. Trên tia Xt, lấy hai điểm Y và Z sao cho XY = 2cm, XZ = 6cm. Gọi K là trung điểm của đoạn XZ.

a) Tính độ dài đoạn YZ.

b) Chứng tỏ Y nằm giữa X và K.

c) Tính độ dài đoạn YK.

Giải.

a) Trên tia Xt, lấy hai điểm Y và Z sao cho: XY = 2cm và XZ = 6cm

=> XY < XZ

=> Điểm Y nằm giữa hai điểm X và Z.

=> XY + YZ = XZ

         2 + YZ = 6

                DE = 4cm.

b) Vì K là trung điểm của đoạn XZ (đề bài)

Trên tia Xt, ta có: XY = 2cm và XK = 3cm

=> Y nằm giữa X và K

c) Vì Y nằm giữa X và K (chứng minh trên)

=> XY + YK = XK

       2   + YK = 3

               YK = 3 - 2

               YK = 1cm.  

2.2. Dạng 2. Chứng minh một điểm là trung điểm của một đoạn thẳng

Phương pháp giải: Để chứng minh O là trung điểm của đoạn thẳng PQ, ta làm theo các bước sau:

• Bước 1: Chứng tỏ O nằm giữa P và Q.
• Bước 2: Chứng tỏ OP = OQ.

Bài 4. Trên tia Xm, lấy hai điểm Y và Z sao cho XY = 4cm, XZ = 8cm.

a) Điểm Y có nằm giữa hai điểm X và Z không? Vì sao?

b) So sánh XY và YZ.

c) Điểm Y có là trung điểm của đoạn thẳng XZ không? Vì sao?

Giải.

a) Trên tia Xm, lấy hai điểm Y và Z sao cho: XY = 4cm, XZ = 8cm

=> XY < XZ

=> Điểm Y nằm giữa hai điểm X và Z.

b) XY + YZ = XZ

      4   + YZ = 8

              YZ = 4cm

c) Ta có XY = 4cm, YZ = 4cm

=> XY = YZ (= 4cm)

Mà Y nằm giữa X và Z (chứng minh câu a)

=> Y là trung điểm của XZ.

Bài 5. Cho điểm X thuộc đường thẳng ab. Trên tia Xa, lấy điểm Y sao cho XY = 3cm. Trên tia Xb, lấy điểm Z sao cho XZ = 5cm. Điểm X có là trung điểm của đoạn thẳng YZ không? Vì sao?

Giải.

Vì điểm X thuộc đường thẳng ab

=> Tia Xa và tia Xb là hai tia đối nhau

Mà Y thuộc tia Xa, Z thuộc tia Xb

=> X nằm giữa Y và Z

Mà XY ≠ XZ (3cm ≠ 5cm)

=> Điểm X không phải là trung điểm của đoạn YZ.

3. Một số bài tập tự luyện về trung điểm của đoạn thẳng

Bài 1. Trên tia Ok, lấy điểm X và Y sao cho OX = 4cm và OY = 8cm.

a) Trong ba điểm O, X, Y điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại và giải thích tại sao?

b) Tính độ dài đoạn thẳng XY.

c) Điểm X có là trung điểm của đoạn thẳng OY không? Vì sao?

Bài 2. Trên tia Oc, lấy điểm A₁ và A₂ sao cho OA₁ = 4cm, OA₂ = 7,5cm. Điểm A₁ có là trung điểm của đoạn thẳng OA₂ không? Giải thích tại sao?

Bài 3. Cho đoạn thẳng XY = 7cm. Lấy điểm Z thuộc đoạn thẳng XY sao cho XZ = 4cm.

a) Tính độ dài đoạn thẳng ZY.

b) Gọi A₁ và A₂ lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng XZ, ZY. Chứng tỏ điểm Z nằm giữa hai điểm A₁ và A₂.

Bài 4. Cho hai tia Oc và Ok là hai tia đối nhau. Trên tia Oc, lấy điểm X sao cho OX = 4cm. Trên tia Ok, lấy điểm Z sao cho OZ = 3,8cm.

a) Tính độ dài đoạn thẳng XZ.

b) Gọi A₁ và A₂ lần lượt là trung điểm của OX, OZ. Tính độ dài các đoạn thẳng OA₁, OA₂ và A₁A₂.

Bài 5. Trên tia Oe, lấy ba điểm X, Y, Z sao cho OX = 3cm, OY = 5cm, OZ = 6cm. Chứng tỏ:

a) X là trung điểm của OZ.

b) Y không là trung điểm của XZ.

Bài 6*. Cho A₃ là trung điểm của đoạn thẳng A₁A₂. Lấy điểm A₄ nằm giữa A₁ và A₃. Chứng tỏ

Bài 7*. Cho đoạn thẳng XY. Điểm Z nằm giữa X và Y sao cho

Điểm T nằm trên tia ZY sao cho . Chứng tỏ:

a)

b) Điểm T có phải trung điểm của đoạn thẳng XY không? Vì sao?

Vậy là qua bài học này, các em có thể nắm được một số kiến thức cơ bản của trung điểm của đoạn thẳng. Từ đó, các em tìm hiểu sau hơn về cách chứng minh trung điểm của đoạn thẳng cũng như cách tính độ dài đoạn thẳng thông qua tính chất trung điểm. 

Tính chất trung điểm của đoạn thẳng là dạng bài toán cơ bản và tiền đề để phát triển nhiều bài toán đường trung tuyến, đường trung trực (lớp 7), đường trung bình (lớp 8). Chính vì vậy, nắm vững kiến thức cơ bản là điều rất quan trọng. Bài viết trên là một số kiến thức cơ bản về trung điểm của đoạn thẳng và các dạng bài tập cơ bản. Các em chú ý ôn tập thật kỹ về dạng bài tập này nhé.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang