Table of Contents
Ở bài học trước các em đã tìm hiểu về mệnh đề đảo. Vậy mệnh đề tương đương có mối liên hệ gì với mệnh đề đảo? Thế nào là hai mệnh đề tương đương? Cách xét tính đúng sai của hai mệnh đề này có giống nhau không? Bài viết dưới đây sẽ giúp các em nắm vững kiến thức về mệnh đề tương đương.
1. Nhắc lại về mệnh đề đảo
- Chúng ta đã biết mệnh đề "nếu E thì F" được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu E ⇒ F. Khi đó mệnh đề F ⇒ E được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề E ⇒ F.
- Mệnh đề E ⇒ F chỉ sai khi E đúng và F sai.
Ví dụ:
- Cho mệnh đề M: "Nếu một số chia hết cho 2 và 5 thì số đó có chữ số tận cùng là 0".
Mệnh đề đảo của mệnh đề M là: "Nếu một số có chữ số tận cùng là 0 thì số đó chia hết cho 2 và 5", đây là mệnh đề đúng.
- Cho mệnh đề H: "Nếu tam giác MNF cân tại M thì tam giác MNF có một góc 60°".
Mệnh đề đảo của mệnh đề H là: "Nếu tam giác MNF có một góc 60° thì tam giác MNF cân tại M", đây là mệnh đề sai.
- Cho mệnh đề K: "Nếu x > y thì
Mệnh đề đảo của mệnh đề K là: "Nếu
» Xem thêm: Mệnh đề đảo là gì? Một vài bài tập mệnh đề đảo
2. Mệnh đề tương đương là gì?
- Nếu cả hai mệnh đề E ⇒ F và F ⇒ E đều đúng thì khi đó ta nói E và F là hai mệnh đề tương đương.
- Hai mệnh đề E và F tương đương được kí hiệu: E ⇔ F. Đọc là "E tương đương F" hoặc "E khi và chỉ khi F", hoặc "E là điều kiện cần và đủ để có F".
3. Ví dụ mệnh đề tương đương
Ví dụ 1: Cho mệnh đề K: "45 chia hết cho 15" và mệnh đề G: "45 chia hết cho 3 và 5".
Khi đó mệnh đề K ⇔ G được phát biểu như sau: "45 chia hết cho 15 khi và chỉ khi 45 chia hết cho 3 và 5". Để xét tính đúng/ sai của mệnh đề này ta cần xét tính đúng/ sai của hai mệnh đề K ⇒ G và G ⇒ K.
Ta có mệnh đề K ⇒ G: "Nếu 45 chia hết cho 15 thì 45 chia hết cho 3 và 5", đây là mệnh đề đúng.
Ngược lại, mệnh đề G ⇒ K: "Nếu 45 chia hết cho 3 và 5 thì 45 chia hết cho 15", đây là mệnh đề đúng.
Như vậy cả hai mệnh đề K ⇒ G và G ⇒ K đều đúng. Ta kết luận mệnh đề K ⇔ G đúng.
Ví dụ 2: Cho mệnh đề U: "Góc xMy và góc x'My' là hai góc đối đỉnh" và mệnh đề V: "Góc xMy và góc x'My' bằng nhau".
Khi đó mệnh đề U ⇔ V được phát biểu như sau: "Góc xMy và góc x'My' là hai góc đối đỉnh khi và chỉ khi góc xMy và góc x'My' bằng nhau". Để xét tính đúng/ sai của mệnh đề này ta cần xét tính đúng/ sai của hai mệnh đề U ⇒ V và V ⇒ U.
Ta có mệnh đề U ⇒ V: "Nếu góc xMy và góc x'My' là hai góc đối đỉnh thì góc xMy và góc x'My' bằng nhau", là mệnh đề đúng (tính chất của hai góc đối đỉnh).
Ngược lại, mệnh đề V ⇒ U: "Nếu góc xMy và góc x'My' bằng nhau thì góc xMy và góc x'My' là hai góc đối đỉnh", là mệnh đề sai (vì hai góc bằng nhau chưa chắc hai góc đó là hai góc đối đỉnh).
Vì mệnh đề U ⇒ V đúng, mệnh đề V ⇒ U sai nên mệnh đề U ⇔ V sai.
4. Bài tập mệnh đề tương đương
4.1. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho mệnh đề U: "Tam giác HJK có góc H bằng 90°" và mệnh đề T: "JK2 = HJ2 + HK2 ". Lập mệnh đề U ⇔ V và xét tính đúng sai của mệnh đề này.
A. Mệnh đề U ⇔ V: "Tam giác HJK có góc H bằng 90° khi và chỉ khi JK2 = HJ2 + HK2" là mệnh đề đúng.
B. Mệnh đề U ⇔ V: "Nếu tam giác HJK có góc H bằng 90° thì JK2 = HJ2 + HK2" là mệnh đúng.
C. Mệnh đề U ⇔ V: "Nếu JK2 = HJ2 + HK2 thì tam giác HJK có góc H bằng 90°" là mệnh đề sai.
D. Mệnh đề U ⇔ V: "Tam giác HJK có góc H bằng 90° khi và chỉ khi JK2 = HJ2 + HK2" là mệnh đề sai.
ĐÁP ÁN
Chọn câu A.
Mệnh đề U ⇔ V: "Tam giác HJK có góc H bằng 90° khi và chỉ khi JK2 = HJ2 + HK2" là mệnh đề đúng. Vì mệnh đề này chính là định lý Pytago thuận và Pytago đảo.
Câu 2: Cho tam giác GMH với E là chân đường cao kẻ từ G đến . Mệnh đề nào sau đây sai?
A. "Tam giác GMH vuông tại G khi và chỉ khi
B. "Tam giác GMH vuông tại G khi và chỉ khi
C. "Tam giác GMH vuông tại G khi và chỉ khi
D. "Tam giác GMH vuông tại G khi và chỉ khi
ĐÁP ÁN
Chọn câu C.
Vì tam giác GMH vuông tại G khi và chỉ khi
4.2. Bài tập tự luận
Bài 1: Phát biểu các mệnh đề sau dưới dạng điều kiện cần và đủ:
a) Một số nguyên dương chia hết cho 9 khi tổng các chữ số của chúng chia hết cho 9 và ngược lại.
b) Tứ giác DEGF là hình vuông nếu và chỉ nếu tứ giác DEGF là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc.
c) x3 > y3 khi và chỉ khi x > y.
ĐÁP ÁN
a) Điều kiện cần và đủ để số nguyên dương chia hết cho 9 là tổng các chữ số của chúng chia hết cho 9.
b) Điều kiện cần và đủ để tứ giác DEGF là hình vuông là tứ giác DEGF là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc.
c) Điều kiện cần và đủ để x3 > y3 là x > y.
Bài 2: Cho mệnh đề D: "Tứ giác MNKH là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc" và mệnh đề E: "Tứ giác MNKH là hình thoi". Phát biểu mệnh đề D ⇔ E và xét tính đúng/ sai của mệnh đề này.
ĐÁP ÁN
Mệnh đề D ⇔ E được phát biểu như sau: "Tứ giác MNKH là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc khi và chỉ khi tứ giác MNKH là hình thoi". Để xét tính đúng/ sai của mệnh đề này ta cần xét tính đúng/ sai của hai mệnh đề D ⇒ E và E ⇒ D.
Ta có mệnh đề D ⇒ E: "Nếu tứ giác MNKH là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc thì tứ giác MNKH là hình thoi", đây là mệnh đề đúng.
Ngược lại, mệnh đề E ⇒ D: "Nếu tứ giác MNKH là hình thoi thì tứ giác MNKH là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc", đây là mệnh đề đúng.
Như vậy cả hai mệnh đề D ⇒ E và E ⇒ D đều đúng. Ta kết luận mệnh đề D ⇔ E đúng.
Bài 3: Cho mệnh đề G: "ΔRST = ΔMNK" và mệnh đề H: "Tam giác RST và tam giác MNK có diện tích bằng nhau". Phát biểu mệnh đề G ⇔ H và xét tính đúng/ sai của mệnh đề này.
ĐÁP ÁN
Mệnh đề G ⇔ H được phát biểu như sau: "ΔRST = ΔMNK khi và chỉ khi tam giác RST và tam giác MNK có diện tích bằng nhau". Để xét tính đúng/ sai của mệnh đề này ta cần xét tính đúng/ sai của hai mệnh đề G ⇒ H và H ⇒ G.
Ta có mệnh đề G ⇒ H: "Nếu ΔRST = ΔMNK thì tam giác RST và tam giác MNK có diện tích bằng nhau", đây là mệnh đề đúng.
Ngược lại, mệnh đề H ⇒ G: "Nếu tam giác MNK có diện tích bằng nhau thì ΔRST = ΔMNK", đây là mệnh đề sai (vì hai tam giác có diện tích bằng nhau có thể không bằng nhau)
Như vậy mệnh đề G ⇒ H đúng nhưng mệnh đề H ⇒ G sai. Ta kết luận mệnh đề G ⇔ H sai.
Như vậy qua bài viết này VOH Giáo dục đã tổng hợp toàn bộ kiến thức về mệnh đề tương đương cũng như phương pháp xét tính đúng sai của mệnh đề này. Hy vọng rằng qua các ví dụ và bài tập minh họa các bạn sẽ nắm vững kiến thức và học tốt phần này.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang