Picture of the author
Picture of the author
SGK Toán 10»Mệnh Đề – Tập Hợp»Phép hiệu là gì? Lý thuyết và bài tập vậ...

Phép hiệu là gì? Lý thuyết và bài tập vận dụng

(VOH Giáo Dục) - Bài viết trình bày về lý thuyết và bài tập vận dụng phép hiệu chi tiết, đầy đủ giúp các bạn hiểu rõ hơn về phép hiệu nói riêng và các phép toán tập hợp nói chung.

Xem thêm

Trong chương trình Đại số lớp 10, các bạn học sinh được tìm hiểu về các phép toán trên tập hợp số như: phép giao, phép hợp, phép hiệu và phép lấy phần bù. Vậy phép hiệu là gì? Tài liệu dưới đây VOH Giáo Dục sẽ gửi tới các bạn lý thuyết và bài tập của nội dung này.


1. Phép hiệu là gì?

Phép hiệu hay còn gọi là hiệu của hai tập hợp được định nghĩa như sau:

  • Cho hai tập hợp M và N. Tập hợp các phần tử thuộc tập hợp M nhưng không thuộc tập hợp N gọi là hiệu của M và N
  • Hiệu của M và N kí hiệu là M\N với M \ N = { x | x ∈ M và x ∉ N}
  • Hiệu của N và M kí hiệu là N\M với N \ M = { x | x ∈ N và x ∉ M}

Ta có thể minh hoạ phép hiệu của M và N bằng biểu đồ Ven dưới đây:

phep-hieu-la-gi-ly-thuyet-va-bai-tap-van-dung-phep-hieu-lop-10-01

∗ Chú ý:

  • Nếu N ⊂ M thì hiệu M \ N gọi là phần bù của N trong M, kí hiệu là CMN.

phep-hieu-la-gi-ly-thuyet-va-bai-tap-van-dung-phep-hieu-lop-10-02

  • CMM = ∅.

Ví dụ: Cho các tập hợp: M = { − 2; 5; 6; 8; 9}; N là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 2 và nhỏ hơn 10. Tìm các phần tử của tập hợp M \ N và N \ M?

Lời giải:

N là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 2 và nhỏ hơn 10 nên ta có tập hợp N gồm các phần tử sau:

N = {0; 2; 4; 6; 8}

Do đó: M \ N = {− 2; 5; 9} và N \ M = {0; 2; 4}

» Xem thêm:

2. Tìm phép hiệu bằng cách vẽ sơ đồ trên trục số

∗ Một số kiến thức cần chú ý về khoảng, đoạn, nửa khoảng, nửa đoạn:

  • Kí hiệu: + ∞ đọc là dương vô cực (dương vô cùng); − ∞ đọc là âm vô cực (âm vô cùng).
  • Tập hợp số thực kí hiệu là {+ ∞; − ∞}
  • Đoạn [a; b] = {x | a ≤ x ≤ b}
  • Khoảng (a; b) = {x | a < x < b} ; khoảng (a; + ∞) = {x | x > a}; khoảng (− ∞; b) = {x | x < b}
  • Nửa khoảng [a; + ∞) = {x | x ≥ a}; nửa khoảng (− ∞; b] = {x | x ≤ b};
  • Nửa khoảng [a; b) = {x | a ≤ x < b}; nửa khoảng (a; b] = {x | a < x ≤ b}

∗ Để tìm hiệu của những tập con của tập số thực R, thường áp dụng cho các bài toán tìm hiệu của các tập hợp là các khoảng, nửa khoảng, đoạn hoặc nửa đoạn, thay vì cách liệt kê các phần tử, người ta có thể biểu diễn nó trên trục số như sau:

  • Bước 1: Biểu diễn các khoảng, đoạn trên trục số;
  • Bước 2: Quan sát và kết hợp định nghĩa phép hiệu để xác định tập hợp theo yêu cầu của bài toán.

Ví dụ 1: Xác định tập hợp S = (− 2; 5] \ (1; 6].

Lời giải:

Ta biểu diễn các khoảng (− 2; 5] và [1; 6) trên trục số:

phep-hieu-la-gi-ly-thuyet-va-bai-tap-van-dung-phep-hieu-lop-10-03

Từ sơ đồ, ta thấy S = (− 2; 5] \ (1; 6] = (− 2; 1).

Ví dụ 2: Xác định tập hợp A = (− ∞; 5] \ [− 1; + ∞).

Lời giải:

Ta biểu diễn các khoảng (− ∞; 5] và [− 1; + ∞) trên trục số:

phep-hieu-la-gi-ly-thuyet-va-bai-tap-van-dung-phep-hieu-lop-10-04

Từ sơ đồ, ta thấy A = (− ∞; 5] \ [− 1; + ∞) = (− ∞; 1).

3. Các bài tập về phép hiệu lớp 10

3.1. Dạng 1: Xác định các tập hợp là kết quả của phép hiệu

Bài 1: Cho hai tập hợp: U = {x ∈ Z | 0 < x < 20 và x 3}; V = {x ∈ Z | (x2 − 2x − 3)(x − 9) = 0}. Xác định tập hợp U \ V?

A. U \ V = { 6; 12; 15; 18}

B. U \ V = { 3; 6; 12; 15; 18}

C. U \ V = { 3; 6; 12; 18}

D. U \ V = { 6; 9; 12; 15; 18}

ĐÁP ÁN

Ta có: U = {x ∈ Z | 0 < x < 20 và x 3} = { 3; 6; 9; 12; 15; 18}

Và (x2 − 2x − 3)(x − 9) = 0

⇔ x2 − 2x − 3 = 0 hoặc x − 9 = 0

⇔ x = − 1; x = 3 hoặc x = 9

Do đó: V = {− 1; 3; 9}

Vậy U \ V = { 6; 12; 15; 18}.

Đáp án A.  

Bài 2: Biết rằng A là tập hợp các chữ cái trong câu "BÁN ANH EM XA", B là tập hợp các chữ cái trong câu "MUA LÁNG GIỀNG GẦN". Hãy xác định tập hợp B \ A?

A. B \ A = {X; L; G; I; H; Â}

B. B \ A = {E; L; G; A; Ê; Â}

C. B \ A = {U; L; G; I; Ê; Â}

D. B \ A = {B; H; E; X}

ĐÁP ÁN

Ta có: A = {B; A; N; H; E; M; X}

B = {M; U; A; L; N; G; I; Ê; Â}

Khi đó: B \ A = {U; L; G; I; Ê; Â}

Đáp án C.  

Bài 3: Xác định tập hợp M = (− 1; 4] \ (− 2; 2)?

A. M = (− 2; 4]

B. M = [2; 4]

C. M = (− 1; − 2)

D. M = (− 2; 2)

ĐÁP ÁN

Ta biểu diễn các khoảng (− 1; 4] và (− 2; 2) trên trục số:

phep-hieu-la-gi-ly-thuyet-va-bai-tap-van-dung-phep-hieu-lop-10-05

Từ sơ đồ, ta thấy M = (− 1; 4] \ (− 2; 2) = [2; 4].

Đáp án B.  

3.2. Dạng 2: Vận dụng phép hiệu giải các bài toán thực tế

Bài 1: Trong một buổi khảo sát nhóm bạn học sinh lớp 10A gồm 7 bạn: Minh; Lan; Hoa; Hải; Phong; Huy; Nam về 2 môn thể thao yêu thích. Kết quả thu được như sau: Có 4 bạn thích môn bóng rổ gồm: Minh; Hoa; Phong; Huy. Có 6 bạn thích môn cầu lông gồm: Lan; Hoa; Hải; Phong; Huy; Nam. Có bao nhiêu học sinh chỉ thích môn bóng rổ?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

ĐÁP ÁN

Giả sử A là tập hợp các bạn thích môn bóng rổ; B là tập hợp các bạn thích môn cầu lông. Ta có:

A = {Minh; Hoa; Phong; Huy}

B = {Lan; Hoa; Hải; Phong; Huy; Nam}

Khi đó số học sinh chỉ thích môn bóng rổ là số phần tử của phép hiệu của A và B.

A \ B = {Minh}

Vậy có 1 bạn chỉ thích môn bóng rổ.

Đáp án B.

Bài 2: Lớp 10H có các bạn học sinh đều biết chơi piano hoặc ghita. Biết rằng có 22 bạn biết chơi piano; 27 bạn biết chơi ghita; 15 bạn biết chơi cả piano và ghita. Hỏi có bao nhiêu bạn chỉ biết chơi piano?

A. 5

B. 12

C. 8

D. 7

ĐÁP ÁN

Ta tóm tắt lại bài toán bằng hình vẽ sau (biểu đồ Ven):

phep-hieu-la-gi-ly-thuyet-va-bai-tap-van-dung-phep-hieu-lop-10-06

Khi đó số lượng các bạn học sinh chỉ biết chơi piano là phép hiệu của tập hợp các bạn biết chơi piano và các bạn biết chơi cả piano và ghita. Do đó số các bạn học sinh chỉ biết chơi piano là: 22 − 15 = 7 (bạn).

Đáp án D.

Với phần lý thuyết và các bài tập trong tài liệu trên đây, hy vọng sẽ giúp các bạn học sinh hiểu rõ và vận dụng tốt kiến thức này vào giải bài tập về phép hiệu trong chương trình Đại số 10.


Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang

Tác giả: Đỗ Thị Quỳnh Mai

Phần bù là gì? Các dạng bài tập phần bù của hai tập hợp
Các tập hợp số trong toán học đầy đủ, chi tiết