Cấp số nhân là gì? Công thức cấp số nhân chi tiết, dễ hiểu

Cấp số nhân là một dãy số trong đó mỗi số sau đó được tạo ra bằng cách nhân số trước đó với một hằng số cố định (gọi là công bội). Các bài toán về cấp số nhân liên quan đến tính tổng, tìm số hạng và xác định công bội của dãy số. Bài viết này VOH Giáo dục sẽ giúp các em học sinh củng cố lại các lý thuyết về định nghĩa, tính chất, công bội và một số bài tập liên quan thường gặp về cấp số nhân.

1. Cấp số nhân là gì? Công bội cấp số nhân là gì?

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn). Trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và một số q (q được gọi là công bội) không đổi.

Có nghĩa là:

 là cấp số nhân , với 

Ví dụ: Dãy số , với  là một cấp số nhân với số hạng đầu  và công bội q=2.

2. Tính chất cấp số nhân

Nếu  là một cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ hai, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) bằng tích của hai số hạng đứng kề nó trong dãy

Tức là:

Ví dụ: Cho cấp số nhân với công bội q > 0. Biết 

Giải

Theo định lý 1, ta có:

(1)

(2)

Từ (1) ta có > 0 vì >0, q > 0

Suy ra . Từ đây ta được 

3. Công bội cấp số nhân

q là công bội của cấp số nhân. Công bội  

Ví dụ: Cho cấp số nhân . Tính công bội q

Áp dụng công thức ta có:

4. Số hạng tổng quát của cấp số nhân

Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu  và công bội q thì số hạng tổng quát  sẽ được tính bởi công thức:

Ví dụ: Cho cấp số nhân  với 

Giải: 

» Xem thêm: Cách tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân chi tiết, dễ hiểu

5. Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân

Giả sử có cấp số nhân  với công bội q . Với mỗi số nguyên dương n gọi  là tổng n số hạng đầu tiên của nó.

Nếu q =1 thì cấp số nhân là  

6. Cấp số nhân lùi vô hạn

Với  có công bội q  được gọi cấp số nhân lùi vô hạn.

Ví dụ: là một cấp số nhân lùi vô hạn 

7. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Cho cấp số nhân lùi vô hạn  có công bội q . Khi đó ta có tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S bằng: .

8. Một số bài tập cấp số nhân

Bài 1: Cho 3 số a,b,c lập thành một cấp số nhân. Chứng minh rằng 

Bài 2: Tính tổng cấp số nhân

Xét cấp số nhân có  và công bội q = 3.

Trên đây là những kiến thức và công thức cấp số nhân cùng các bài tập ví dụ liên quan được VOH Giáo dục tổng hợp chia sẻ đến các em học sinh. Hy vọng qua bài viết này đã giúp em ôn lại được các kiến thức cơ bản về cấp số nhân để có thể áp dụng vào trong quá trình học tập. Chúc các em học tốt.