Các dạng đồ thị hàm số thường gặp mà bạn cần nắm vững

Trong chương trình bậc THPT, tri thức toán có nhắc đến ba loại hàm số: hàm số bậc 3, hàm số bậc 4 trùng phương, hàm phân thức bậc nhất. Ở chủ đề này, ta sẽ cùng nhau khảo sát cả ba hàm số trên và các dạng đồ thị hàm số tương ứng của chúng. Kĩ năng khảo sát hàm số là một kĩ năng cần được rèn luyện thường xuyên vì đây chính là công cụ hỗ trợ giải các bài toán ở mức vận dụng, vận dụng cao.

1. Tổng hợp các dạng đồ thị hàm số

1.1. Khảo sát và vẽ các dạng đồ thị hàm số bậc 3

Hàm số bậc ba có dạng: y = f(x) = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0)

• Tập xác định: D = R

• Đạo hàm: y ' = f '(x) = 3ax² + 2bx + c

• Điểm đối xứng

• Giao điểm của đồ thị hàm số với Oy là (0; d).

• Hoành độ điểm uốn (trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị).

y'' = 0 ⇔ x =                             

• Đồ thị

∗ Trường hợp 1: a > 0

Phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt (Điều kiện: > 0)

• Có 1 cực đại, 1 cực tiểu.

• Đồng biến trên các khoảng (-∞;x_CĐ); (x_CT;+∞)

• Nghịch biến trên (x_CĐ; x_CT)

Phương trình y' = 0 có nghiệm kép (Điều kiện: = 0)

• Không có cực trị

• Luôn đồng biến trên R

Phương trình y' = 0 vô nghiệm (Điều kiện: < 0)

• Không có cực trị

• Luôn đồng biến trên

∗ Trường hợp 2: a < 0

Phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt (Điều kiện: > 0)

• Có 1 cực đại, 1 cực tiểu.

• Nghịch biến trên các khoảng (-∞;x_CT); (x_CĐ;+∞)

• Đồng biến trên (x_CT; x_CĐ)

Phương trình y' = 0 có nghiệm kép (Điều kiện: = 0)

•  Không có cực trị

•  Luôn nghịch biến trên R

 Phương trình y' = 0 vô nghiệm (Điều kiện: < 0)

• Không có cực trị

• Luôn nghịch biến trên R

1.2. Khảo sát và vẽ các dạng đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương

Hàm số bậc bốn trùng phương có dạng: y = f(x) = ax⁴ + bx² + c (a ≠ 0)

• Tập xác định: D = R

• Đạo hàm: y ' = f '(x) = 4ax³ + 2bx 

• Trục đối xứng x = 0 ( trục tung)

• Giao điểm của đồ thị hàm số với Oy là (0; c)                          

• Đồ thị

∗ Trường hợp 1: a > 0

y' = 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔ hàm số có ba cực trị a.b < 0

y' = 0 có duy nhất một nghiệm x = 0 ⇔ hàm số có một cực trị a.b ≥ 0

∗ Trường hợp 2: a < 0

y' = 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔ hàm số có ba cực trị a.b < 0

y' = 0 có  duy nhất một nghiệm x = 0 ⇔ hàm số có một cực trị a.b ≥ 0

1.3. Khảo sát và vẽ các dạng đồ thị hàm số phân thức bậc nhất

Hàm số phân thức bậc nhất có dạng: y = f(x) =

• Tập xác định: D =

• Đạo hàm: y ' = f '(x) =

• Tiệm cận đứng ; tiệm cận ngang

• Hàm số không có cực trị                       

• Điểm đối xứng

• Giao với trục Ox (nếu có) tại điểm A

• Giao với trục Oy tại điểm: B

∗ Trường hợp 1: ad - bc > 0

Luôn đồng biến trên các khoảng

∗ Trường hợp 2: ad - bc < 0

Luôn nghịch biến trên các khoảng

2. Cách nhận biết các dạng đồ thị hàm số

Hàm số bậc 3

Hàm số bậc ba có dạng: y = f(x) = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0)

- Nhánh cuối có hướng đi lên ⇒ a > 0, nhánh cuối có hướng đi xuống ⇒ a < 0

- Giao điểm với trục tung suy ra dấu của d.

- Các cực trị, hoành độ tâm đối xứng suy ra dấu của b và c

Hàm số bậc 4 trùng phương

Hàm số bậc bốn trùng phương có dạng: y = f(x) = ax⁴ + bx² + c (a ≠ 0)

- Nhánh cuối có hướng đi lên ⇒ a > 0, nhánh cuối có hướng đi xuống ⇒ a < 0

- Giao điểm với trục tung suy ra dấu của c.

- Các cực trị suy ra dấu của b.

3. Bài tập về các dạng đồ thị hàm số lớp 12 cơ bản - nâng cao

Bài 1: Bảng biến thiên dưới đây là của hàm số nào?

A.

B.

C.

D.

Bài 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị như hình vẽ dưới đây?

A.

B.

C.

D.

Bài 3: Đồ thị hàm số y = x⁴ - 4x² + 3 là hình nào trong số các hình vẽ dưới đây?

A.

B.

C.

D.

Bài 4: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ sau:

Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. a + b + c = 2

B. a - b + c = 0

C. a + b + c = 0

D. abc = -2

Bài 5: Cho hàm số y = ax³ + bx² + cx + d (a, b, c, d ∈ R)  có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu số dương trong các số a, b, c, d ?

A. 4

B. 2

C. 3

D. 1

Bài 6: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

A. x³ - 3x

B. -x³ + 3x

C. x³ + 3x

D. -x³ - 3x

Bài 7: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A.

B.

C.

D.

Như vậy chủ đề hôm nay bao gồm bài tập về các dạng về đồ thị hàm số, mục tiêu của bài học là học sinh biết cách phân biệt các dạng đồ thị hàm số, biết cách từ đồ thị hàm số suy ra dạng hàm số đó. Ngoài ra còn có một số các bài tập ở mức độ thông hiểu yêu cầu xét dấu các hệ số của hàm số. Các bài tập trên chỉ xoay quanh các dạng toán ở mức độ nhận biết và thông hiểu nhưng đây là nền tảng để chúng ta xây dựng lên các hàm số có độ phức tạp cao hơn nhằm giải quyết các dạng toán về hàm ẩn.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang