Picture of the author
Picture of the author
SGK Toán 12»Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Th...»Cách tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số ...

Cách tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số chi tiết, đầy đủ nhất

(VOH Giáo Dục) - Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là gì? Cách tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số như thế nào? Chúng ta cùng tìm hiểu về khái niệm, tính chất và các bài tập liên quan từ đó hiểu rõ và biết cách vận dụng vào bài tập chính xác nhất.

Xem thêm

Trong chương trình bậc THPT, hàm số là một nội dung khá hay và thường chiếm trọng số điểm khá cao trải dài từ mức độ nhận biết cho đến vận dụng cao. Một trong số đó là kiến thức về tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số, một trong những phép biến hình đã được học ở lớp 10 và vận dụng mang vào bài đồ thị hàm số. Chủ đề này sẽ mô tả khái quát về khái niệm và cách tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số thường gặp trong chương trình.


1. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là gì?

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Giả sử I là một điểm thỏa mãn tính chất: Bất kì một điểm A thuộc đồ thị (C) nếu lấy đối xứng qua I ta được điểm A' cũng thuộc (C) thì ta nói I là tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = f(x)

Tính chất

- Cho hàm số y = f(x). Khi đó hàm số có tâm đối xứng là gốc tọa độ O(0;0) ⇔ f(x). Hàm số lẻ: f(-x) = -f(x)

phuong-phap-tim-tam-doi-xung-cua-do-thi-ham-so-va-cac-dang-bai-tap-ap-dung-1

- Giả sử hàm số y = f(x) nhận điểm I(x0; y0) làm tâm đối xứng thì khi đó ta có tính chất:


Chú ý:

- Tâm đối xứng có thể nằm ngoài hoặc nằm trên đồ thị hàm số. Nếu hàm số f(x) liên tục trên R thì tâm đối xứng của nó (nếu có) là một điểm thuộc đồ thị hàm số đó.

- Không phải hàm số nào cũng có tâm đối xứng, chỉ có một vài hàm số nhất định mới có tâm đối xứng.

Trong chương trình THPT, kiến thức toán học giới thiệu hai loại hàm số có tâm đối xứng đó là: Hàm số bậc ba và hàm phân thức bậc nhất.

2. Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc 3

Hàm số bậc ba có dạng:

• Tập xác định: D=R

• Đạo hàm:

• Tâm đối xứng

• Giao điểm của đồ thị hàm số với Oy là (0;d).

• Hoành độ điểm uốn (trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị).

 

Như vậy thông qua khảo sát hàm số ta thấy được, tọa độ điểm uốn và tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba là trùng nhau.

• Lập bảng biến thiên

• Lập bảng giá trị

phuong-phap-tim-tam-doi-xung-cua-do-thi-ham-so-va-cac-dang-bai-tap-ap-dung-2

• Đồ thị

∗ Trường hợp 1: a>0

Phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt (Điều kiện: )

phuong-phap-tim-tam-doi-xung-cua-do-thi-ham-so-va-cac-dang-bai-tap-ap-dung-3

• Có 1 cực đại, 1 cực tiểu.

• Đồng biến trên các khoảng (-∞;x); (xCT;+∞)

• Nghịch biến trên (x; xCT)

 Phương trình y' = 0 có nghiệm kép (Điều kiện: )

phuong-phap-tim-tam-doi-xung-cua-do-thi-ham-so-va-cac-dang-bai-tap-ap-dung-4

• Không có cực trị

• Luôn đồng biến trên

Phương trình y' = 0 vô nghiệm (Điều kiện: )

phuong-phap-tim-tam-doi-xung-cua-do-thi-ham-so-va-cac-dang-bai-tap-ap-dung-5

• Không có cực trị

• Luôn đồng biến trên R

∗ Trường hợp 2: a<0

Phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt (Điều kiện: )

phuong-phap-tim-tam-doi-xung-cua-do-thi-ham-so-va-cac-dang-bai-tap-ap-dung-6

• Có 1 cực đại, 1 cực tiểu.

• Nghịch biến trên các khoảng (-∞;x); (xCT;+∞)

• Đồng biến trên (x; xCT)

 Phương trình y' = 0 có nghiệm kép (Điều kiện: )

phuong-phap-tim-tam-doi-xung-cua-do-thi-ham-so-va-cac-dang-bai-tap-ap-dung-7

• Không có cực trị

• Luôn nghịch biến trên

 Phương trình y' = 0 vô nghiệm (Điều kiện: )

phuong-phap-tim-tam-doi-xung-cua-do-thi-ham-so-va-cac-dang-bai-tap-ap-dung-8

• Không có cực trị

• Luôn nghịch biến trên R

3. Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc nhất

Hàm số phân thức bậc nhất có dạng:

• Tập xác định:

• Đạo hàm:

• TCĐ: ; TCN:

• Hàm số không có cực trị.

• Điểm đối xứng

Như vậy tọa độ điểm đối xứng của hàm số phân thức bậc nhất là giao điểm hai đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.

• Giao với trục Ox (nếu có) tại điểm A

• Giao với trục Oy tại điểm: B

∗ Trường hợp 1: ad - bc > 0

phuong-phap-tim-tam-doi-xung-cua-do-thi-ham-so-va-cac-dang-bai-tap-ap-dung-9

Luôn đồng biến trên các khoảng

∗ Trường hợp 2: ad - bc < 0

phuong-phap-tim-tam-doi-xung-cua-do-thi-ham-so-va-cac-dang-bai-tap-ap-dung-10

Luôn nghịch biến trên các khoảng

4. Cách tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số

4.1. Hàm số bậc ba

Hàm số bậc ba có dạng:

Tập xác định: D=R

⇒ f ’(x) = 3ax2 + 2bx + c

⇒ f ’’(x) = 6ax + 2b

f ’’(x) = 0 ⇔ 6ax + 2b = 0 ⇔

Thay  vào y = f(x) ta có

Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số có dạng

4.2. Hàm số phân thức bậc nhất

Hàm số phân thức bậc nhất có dạng:

Tập xác định:

Ta có

Nên ta có TCĐ: ; TCN:

Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số có dạng

5. Bài tập tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số

Bài 1: Với m = 4, tìm tâm đối xứng của hàm số bậc 3 trên

ĐÁP ÁN

∗ Cách giải

Xét hàm số y = x3 – (m-3)x2 + 3m + 5

Với m = 4 ta có y = x3 –x2 + 17

Tập xác định D=R

y = x3 –x2 + 17

⇒y’ = 3x2 – 2x

⇒y’’ = 6x - 2

y’’ = 0 ⇔

Thay vào y = x3 –x2 + 17

Ta có y = .

Vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc 3 trên với m=4 là

Bài 2: Cho hàm số . Tìm m để tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc 3 thuộc trục tung

ĐÁP ÁN

∗ Cách giải 

Xét hàm số: 

Tập xác định: D=R

y = x3 – (m-3)x2 + 3m + 5

⇒ y’ = 3x2 – 2(m-3)x

⇒ y’’ = 6x - 2(m-3)

y’’ = 0 ⇔

Để tâm đối xứng của đồ thị hàm số thuộc trục tung ⇔  ⇔ m = 3

Bài 3: Bảng biến thiên sau đây là của hàm số có dạng

phuong-phap-tim-tam-doi-xung-cua-do-thi-ham-so-va-cac-dang-bai-tap-ap-dung-11

Tâm đối xứng hàm số trên là điểm nào sau đây?

A. I (0;0)

B. I (-1; -2)

C. I (-1; 2)

D. I (1;-2)

ĐÁP ÁN

∗ Phương pháp

Dựa vào đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.  hoặc thì y=a là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Tâm đối xứng là giao điểm hai đường tiệm cận.

∗ Cách giải

Ta có ⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x= -1  

  ⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 2

Vậy tâm đối xứng sẽ có tọa độ là I (-1; 2).

 → Chọn câu C.

Bài 4: Cho hàm số f(x) có dạng như sau: Hỏi m là bao nhiêu thì hàm số trên có tâm đối xứng là I(-2;1)?

A. m = 1

B. m = 2

C. m = 3

D. m = 4

ĐÁP ÁN

∗ Phương pháp

Dựa vào đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. hoặc thì y = a là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Tâm đối xứng là giao điểm hai đường tiệm cận.

∗ Cách giải 

Ta có ⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = -m  

  ⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = m - 1

Để tâm đối xứng là I (-2; 1) thì ⇔ m=2

→ Chọn câu B.

Bài 5: Cho hàm số f(x) có dạng như sau: Hỏi m (m > 0 ) là bao nhiêu thì hàm số trên có tâm đối xứng nằm trên đường thẳng y = 3?

A. m = 0

B. m = 1

C. m = 2

D. m = 3

ĐÁP ÁN

∗ Phương pháp

Dựa vào đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.  hoặc thì y=a là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Tâm đối xứng là giao điểm hai đường tiệm cận.

∗ Cách giải

Ta có ⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = m

  ⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = m2 - 1

Để tâm đối xứng nằm trên đường thẳng y=3 thì

→ Chọn câu C.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là một chủ đề tương đối mới lạ cho các bạn đang làm quen về hình học giải tích, tuy nhiên đây được xem là nội dung quan trọng khi nêu lên tính chất giữa các điểm trong đồ thị. Khái niệm tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã được nhắc đến ở bài phép biến hình trong chương trình toán trước đó, các bài tập về dạng này trong các kì thi THPTQG gần đây nhất chưa đề cập đến. Nên nếu xuất hiện trong đề thi, đó có thể là trở ngại lớn mà các bạn cần đặc biệt lưu ý.


Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang

Tác giả: Huỳnh Nguyễn Minh Phi

Các dạng đồ thị hàm số thường gặp mà bạn cần nắm vững
Phương trình hoành độ giao điểm là gì? Cách tính & các dạng bài tập ứng dụng