Table of Contents
Cực trị của hàm số là một trong những khái niệm được sử dụng rất phổ biến, nhất là trong các ngành toán ứng dụng. Việc chúng ta có thể dự đoán được thời gian để một hàm số tính toán đạt cực đại, đó có thể hiều là phép toán tìm ra điểm cực đại của hàm số. Như vậy có thể nói khái niệm điểm cực đại của hàm số là khá quen thuộc. Chủ đề này sẽ giúp chúng ta tìm hiểu chi tiết hơn về khái niệm đó.
1. Điểm cực đại của hàm số là gì?
Xét hàm số y = f(x)
Nếu ∃x0 ∈ (a;b) sao cho ∀x ∈ (a;b) và x ≠ x0 ta luôn có f(x0) > f(x) trên khoảng (a;b)
Thì ta có:
x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số
f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số
M(x0; f(x0)) được gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số
2. Điều kiện tồn tại điểm cực đại của hàm số
Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên (a;b) chứa x0 và có đạo hàm trên (a;x0) và (x0;b).
Khi đó:
•
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng (a;b) chứa x0.
•
Ví dụ: Hàm số
Ta có: f '(x) = 3x2 - 6x và f ''(x) = 6x - 6
• Vì f '(0) = 0 và f ''(0) = -6 < 0 nên x = 0 là điểm cực đại của hàm số.
3. Mối liên hệ giữa bảng biến thiên và điểm cực đại của hàm số
Xét hàm số có bảng biến thiên như sau:
Xét khoảng
Nhận xét:
• x0 là điểm cực đại của hàm số nếu tại x0 hàm số có chiều biến thiên đi từ đồng biến sang nghịch biến
• Số điểm cực trị của hàm số y = f(x) là số nghiệm đơn bội lẻ của hàm số y = f '(x) (hay còn được biết đến là số lần đổi dấu của hàm số y = f '(x) )
• Tại điểm cực đại, hàm số y = f '(x) có thể không xác định nhưng y = f(x) phải liên tục
4. Điểm cực đại của đồ thị hàm số
∗ Xét hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số y = f(x) như sau:
Để xét điểm cực đại của hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số y = f(x) ta cần chú ý:
x0 là điểm cực đại của hàm số nếu tại x0 hàm số có chiều biến thiên đi từ đồng biến sang nghịch biến
Nghĩa là đồ thị hàm số y = f(x) đi lên rồi sau đó đi xuống, tại điểm giao giữa hai chiều biến thiên đó gọi là điểm cực đại
∗ Xét hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số y = f ’(x) như sau:
Để xét điểm cực đại của hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số y = f(x) ta cần chú ý:
x0 là điểm cực đại của hàm số nếu tại x0 hàm số có chiều biến thiên đi từ đồng biến sang nghịch biến
Nghĩa là đồ thị hàm số y = f ’(x) có sự đổi dấu từ + sang - , tại điểm giao giữa lần đổi dấu đó gọi là điểm cực đại
5. Bài tập tìm điểm cực đại của hàm số
Bài 1: Hàm số
A. 3
B. 1
C. 0
D. 2
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Tính y ' và giải phương trình y ' = 0 tìm các nghiệm.
Dựa vào dáng đồ thị hàm bậc 4 trùng phương có hệ số a < 0 để kết luận.
∗ Cách giải
Ta có:
⇔
Do đó hàm số có 3 cực trị.
Mặt khác hệ số
→ Chọn câu D.
Bài 2: Cho hàm số
A. x = 0
B. (0; 1)
C. x = - 2
D. (-2; -19)
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Hoành độ các điểm cực trị của hàm số là nghiệm của phương trình y ' = 0
Tung độ của điểm cực trị có hoành độ x = x0 là y0 = y(x0)
Ta có: x = x0 là điểm cực đại của hàm số
⇔
∗ Cách giải
Ta có:
Vậy điểm cực đại của hàm số là (0;1).
→ Chọn câu B.
Bài 3: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đạt cực đại tại:
A. 2
B. 1
C. 0
D. 3
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Điểm x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số khi và chỉ khi qua điểm x0 giá trị của f '(x) đổi dấu từ dương sang âm.
∗ Cách giải
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y = f(x) ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0
→ Chọn câu C.
Bài 4: Biết điểm M(0; 4) là điểm cực đại của đồ thị hàm số
A. f(3) = 14
B. f(3) = 49
C. f(3) = 34
D. f(3) = 13
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Điểm x = x0 được gọi là điểm cực đại của đò thị hàm số y = f(x)
⇔
∗ Cách giải
Có
Điểm M(0; 4) là điểm cực đại của đồ thị hàm số
→ Chọn câu D.
Bài 5: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm
A. x = 1
B. x = 2
C. x = 3
D. x = 0
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
x0 là điểm cực đại của hàm số thì f '(x0) = 0 và f '(x) đổi dấu từ dương sang âm tại x0
∗ Cách giải
Ta có
⇔
Bảng xét dấu của
Từ bảng xét dấu ta có x = 3 là điểm cực đại của hàm số y = f(x)
→ Chọn câu C.
Bài 6: Cho hàm số
A. 1
B. 0
C. 3
D. 2
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Hàm số đã cho là hàm chẵn nên nếu x1 là điểm làm cho hàm số nhận cực đại thì ta cũng có điểm –x1 là điểm làm cho hàm số nhận cực đại. Do đó x1 = - x1 ⇒ x1 = 0
Sử dụng điều kiện cần và đủ để hàm đạt cực đại tại x = 0 để suy ra điều kiện của m > 1.
Sử dụng điều kiện này để biện luận các điểm còn lại có đạt cực đại, cực tiểu hay không và kết luận được không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
∗ Cách giải
Giả sử x1 là điểm làm cho hàm số đạt cực đại. Khi đó ta có
Do đó nếu x1 là điểm làm cho hàm số nhận cực đại thì ta cũng có điểm –x1 làm cho hàm số nhận cực đại.
Do hàm số chỉ có điểm cực đại nên
Ta có
Ta lại có
Để x = 0 là điểm cực đại của hàm số thì ta cần
Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm là
Ta có
Nên x1 là điểm cực tiểu của hàm số.
Như vậy với m > 1 thì hàm số đã cho có điểm cực tiểu.
Do đó không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
→ Chọn câu B.
Chủ đề điểm cực đại của hàm số là một trong các nội dung thường xuyên xuất hiện trong kì thi THPTQG. Nội dung này dàn đều kiến thức từ mức độ nhận biết đến vận dụng cao, chính vì thế mức độ bài tập ra thi thường xuyên lặp lại các dạng toán kể trên nên chúng ta cần có kế hoạch ôn tập và nghiên cứu kĩ các dạng qua lời giải chi tiết. Việc hệ thống các dạng bài tập thông qua các ví dụ minh họa giúp chúng ta làm quen với các dạng bài từ đó có thể dự đoán các kiểu câu hỏi tương tự. Ở đây cần đặc biệt chú ý phần 4 về đồ thị hàm số, đây là nội dung mà người mới học thường xuyên nhầm lẫn giữa các dạng đồ thị dẫn đến việc mất điểm không đáng có.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang