Table of Contents
Cực trị của hàm số là một trong các khái niệm quan trọng về hàm, ngoài việc mô tả về tính biến thiên của hàm số cực trị còn chỉ ra vị trí mà tại đó hàm số có giá trị lớn nhất so với các lân cận xung quanh. Hiểu nôm na, cực trị bao gồm cực đại và cực tiểu, hai khái niệm này có ý nghĩa ngược nhau. Vị trí của biến số để hàm số đạt giá trị cực trị ta gọi đó là điểm cực trị của hàm số. Ở chủ đề này, chúng ta sẽ tìm hiểu một cách tường minh về khái niệm điểm cực tiểu của hàm số.
1. Khái niệm điểm cực tiểu của hàm số
Xét hàm số y = f(x)
Nếu ∃x0 ∈ (a;b) sao cho ∀x ∈ (a;b) và x ≠ x0 ta luôn có f(x0) < f(x) trên khoảng (a;b)
Thì ta có:
x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số
f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số
M(x0; f(x0)) được gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
2. Điều kiện tồn tại điểm cực tiểu của hàm số
Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên (a;b) chứa x0 và có đạo hàm trên (a;x0) và (x0;b).
Khi đó:
•
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng (a;b) chứa x0.
•
Ví dụ: Hàm số f(x) = x3 - 3x2
Ta có: f '(x) = 3x2 - 6x và f ''(x) = 6x - 6
• Vì f '(2) = 0 và f ''(2) = 6 > 0 nên x = 2 là điểm cực tiểu của hàm số.
3. Mối liên hệ giữa bảng biến thiên và điểm cực tiểu của hàm số
Xét hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
Xét khoảng (x1; x3) dễ dàng nhận thấy x2 là điểm cực tiểu của hàm số vì f (x2) < f (x)
Nhận xét
• x0 là điểm cực tiểu của hàm số nếu tại x0 hàm số có chiều biến thiên đi từ nghịch biến sang đồng biến
• Số điểm cực trị của hàm số y = f(x) là số nghiệm đơn bội lẻ của hàm số y = f '(x) (hay còn được biết đến là số lần đổi dấu của hàm số y = f '(x) )
• Tại điểm cực tiểu, hàm số y = f '(x) có thể không xác định nhưng y = f(x) phải liên tục
4. Tìm điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
∗ Xét hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số y = f(x) như sau:
.jpg)
Để xét điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số y = f(x) ta cần chú ý:
x0 là điểm cực tiểu của hàm số nếu tại x0 hàm số có chiều biến thiên đi từ nghịch biến sang đồng biến
Nghĩa là đồ thị hàm số y = f(x) đi xuống rồi sau đó đi lên, tại điểm giao giữa hai chiều biến thiên đó gọi là điểm cực tiểu
∗ Xét hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số y = f ’(x) như sau:
Để xét điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số y = f(x) ta cần chú ý:
x0 là điểm cực tiểu của hàm số nếu tại x0 hàm số có chiều biến thiên đi từ nghịch biến sang đồng biến
Nghĩa là đồ thị hàm số y = f ’(x) có sự đổi dấu từ - sang +, tại điểm giao giữa lần đổi dấu đó gọi là điểm cực tiểu
5. Bài tập điểm cực tiểu của hàm số
Bài 1: Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x3 - 3x + 5 là điểm
A. Q(3; 1)
B. N(-1; 7)
C. P(7; -1)
D. M(1; 3)
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Với hàm số
- Tính y ’; giải phương trình y ' = 0 tìm 2 nghiệm x1 < x2 (nếu có)
- Với a > 0, đồ thị hàm số có điểm cực đại (x1; y(x1)) và điểm cực tiểu (x2; y(x2))
- Với a < 0, đồ thị hàm số có điểm cực tiểu (x1; y(x1)) và điểm cực đại (x2; y(x2))
∗ Cách giải
Có: y ' = 3x2 - 3 = 0 ⇔ x = ± 1
Vì hệ số của x3 là dường nên đồ thị hàm số có điểm cực tiểu (1; 3).
→ Chọn câu D.
Bài 2: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
.jpg)
A. Điểm cực tiểu của hàm số là -1.
B. Điểm cực đại của hàm số là 3.
C. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng -1.
D. Giá trị cực đại của hàm số là 0.
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Dựa vào hình vẽ, xác định điểm cực trị của đồ thị hàm số
∗ Cách giải
Từ đồ thị hàm số suy ra giá trị cực tiểu của hàm số bằng -1.
→ Chọn câu C.
Bài 3: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
Xác định số điểm cực tiểu của hàm số y = f(x)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 6
ĐÁP ÁN
∗ Cách giải
Hàm số y = f(x) có 2 điểm cực tiểu tại x = 1 và x = -1
→ Chọn câu B.
Bài 4: Cho hàm số y = 1 + sin2x + 2017. Tìm tất cả các điểm cực tiểu của hàm số.
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Sử dụng điều kiện cần và đủ cho cực trị hàm số để tìm điểm cực tiểu của hàm số.
∗ Cách giải
Tập xác định x ∈ R
Ta có
⇔
⇔
⇔
Ta tính được y '' = - 4sin2x
Do đó: Với
Vì vậy
Với
Vì vậy
→ Chọn câu A.
Bài 5: Đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 2ax + b có điểm cực tiểu A(2;-2). Tính a + b.
A. a + b = 4
B. a + b = 2
C. a + b = -4
D. a + b = -2
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại
∗ Cách giải
y = x3 - 3x2 + 2ax + b
⇒ y ' = 3x2 - 6x + 2a; y '' = 6x - 6
Hàm số có điểm cực tiểu tại A(2;-2)
⇔
⇔
⇔
⇒ a + b = 2
→ Chọn câu B.
Bài 6: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y= x3 + x2 + mx - 1 nằm bên phải trục tung. Tìm số phần tử của tập hợp (-5; 6) ∩ S
A. 5
B. 4
C. 2
D. 1
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Xét phương trình y ’ = 0, tìm điều kiện để đồ thị hàm số bậc ba có 2 điểm cực trị.
Nhận xét hệ số a = 1 > 0 ⇔ xCT > xCĐ ⇒ giá trị của xCT
xCT > 0, tìm S.
∗ Cách giải
y ' = 3x2 + 2x + m = 0
Để đồ thị hàm bậc ba có cực tiểu, tức là có 2 điểm cực trị thì
Phương trình y ’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
⇔
Vì a = 1 > 0 nên xCT > xCĐ
⇒ xCT =
Điểm cực tiểu nằm bên phải trục tung nên
⇔
⇔
⇔
⇔
Kết hợp điều kiện ta có
⇒ có 4 giá trị m nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.
→ Chọn câu B.
Chủ đề điểm cực tiểu của hàm số là một trong các nội dung thường xuyên xuất hiện trong kì thi THPTQG. Về độ khó của các dạng bài tập thì chủ đề này dàn trải kiến thức ở cả 4 mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng, vận dụng cao. Tuy nhiên đó chỉ về mặt kiến thức còn để làm được các bài tập vận dụng vận dụng cao ta cần phải rèn luyện bài tập nhiều ở các dạng nâng cao về khảo sát hàm. Đặc biệt ta cần lưu ý kĩ nội dung phần 4, cần phân biệt được kết luận về cực trị ở hai dạng đồ thị f(x) và f '(x).
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang