Table of Contents
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số là một chuyên đề vô cùng quan trọng trong chương trình Toán lớp 12 và cũng là kiến thức trọng điểm không thể thiếu trong bài thi toán THPT Quốc Gia. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là gì? Cách tìm giá trị lớn nhất của hàm số như nào? Cùng tìm hiểu bài học hôm nay nhé!
1. Giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số là gì?
Xét hàm số y = f(x) xác định trên D
M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu:
2. Cách tìm giá trị lớn nhất của hàm số
2.1. Cách 1: Thực hiện 03 bước để tìm GTLN của hàm số
• Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
• Bước 2: f '(x) = 0 giải phương trình tìm nghiệm và các điểm x0 mà tại đó đạo hàm của hàm số không xác định.
• Bước 3: So sánh các giá trị của f(xi), f(a), f(b). Từ đó đưa ra kết luận.
Lưu ý: Hoàn toàn tương tự khi xét hàm số trên khoảng, tuy nhiên nếu hàm số đạt giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất trên khoảng là f(a), f(b) thì hàm số sẽ không có giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất.
2.2. Cách 2: Bấm máy tính tìm giá trị lớn nhất của hàm số
Sử dụng máy tính Casio FX-570 VNPLUS để tìm GTLN của hàm số:
• Nhập Mode 7, nhập f (X) = …
• Start? a = → End? b = → Step? α =
• (α ta chọn tùy vào đoạn trong đề bài)
Ta nhận được bảng giá trị:
⇒ Từ bảng giá trị f(x), tìm giá trị lớn nhất.
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) = x3 + 3x2 trên đoạn [-1; 3].
- Ta có f(x) = 3x2 + 6x
- Ta thấy f '(x) = 0 ⇔
- Ta có a = -1; x1 = 0; b = 3
f(-1) = 2; f(0) = 0; f(3) = 54
- Ta thấy f(3) = 54 là lớn nhất.
Vậy
- Nhập MODE 7, nhập f(X) = X3 + 3X2
Start? – 1 = End? 3 = Step? 0.5 =
- Bảng giá trị:
Từ bảng giá trị, ta thấy f(3) = 54 là giá trị lớn nhất.
*Chú ý: Trong nhiều bài toán, các em có thể tìm GTLN bằng máy tính Casio. Tuy nhiên, việc dùng Casio trong khi tìm giá trị lớn nhất hàm số sẽ gây ra hạn chế khi gặp những số liệu xấu.
2.3. Ví dụ minh họa về tìm giá trị lớn nhất của hàm số
Ví dụ 1: Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = x4 - 2x2 + 1 trên đoạn [0; 2] là:
A.
B.
C.
D.
Giải
Xét hàm số f(x) = x4 - 2x2 + 1 liên tục trên đoạn [0; 2].
Ta có
Khi đó f(1) = 0; f(0) = 1; f(2) = 9. Do đó
→ Chọn câu D.
Ví dụ 2: Giá trị lớn nhất của hàm số y =
A.
B.
C.
D.
Giải
Hàm số có điều kiện xác định 5 - 4x ≥ 0 ⇔ x ≤
Xét hàm số y =
Ta có
→ Chọn câu C.
» Xem thêm: Phương pháp tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số
3. Phân biệt giá trị lớn nhất của hàm số và cực đại hàm số
Dựa trên hình vẽ ta dễ dàng nhận xét được:
- x1, x2, x3 là các điểm cực trị
- x1, x3 là điểm cực tiểu
- x2 là điểm cực đại
- f(x1), f(x3) là giá trị cực tiểu
- f(x2) là giá trị cực đại
Nhận xét giá trị lớn nhất của hàm số và cực đại hàm số:
- Nếu xét trên (x1;x2) ta có giá trị f(x2) là giá trị lớn nhất của hàm số theo như hinh vẽ minh họa. Như vậy ta nói f(x2) vừa là giá trị cực đại của hàm số vừa là giá trị lớn nhất của hàm số.
- Nếu xét trên (a; b) ta có giá trị tại x = a là giá trị lớn nhất của hàm số theo như hình vẽ minh họa. Tuy nhiên vì là khoảng nên hàm số f(x) không đạt giá trị tại x = a nên ta nói trên khoảng (a; b) hàm số không có giá trị lớn nhất. Như vậy ta nói giá trị cực đại của hàm số không là giá trị lớn nhất của hàm số.
- Điều đó vẫn đúng kể cả khi xét f(x) trên đoạn [a; b] vì f(a) > f(x2) theo như hình vẽ minh họa.
4. Bài tập tìm giá trị lớn nhất của hàm số
Bài 1: Xét hàm số
A. Hàm số có cực trị trên khoảng (-1; 1).
B. Hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-1; 1].
C. Hàm số đồng biến trên đoạn [-1; 1].
D. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 1 và giá trị lớn nhất tại x = -1.
ĐÁP ÁN
∗ Cách giải
Xét
Hàm số không có cực trị trên ( 1;1)
Hàm số đã cho nghịch biến và liên tục trên đoạn [–1;1]
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 1 và đạt giá trị lớn nhất tại x = -1.
→ Chọn câu D.
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y = x3 - 3x2 trên đoạn [-1; 1].
A. M = 2
B. M = 0
C. M = - 2
D. M = 4
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Tính đạo hàm của hàm số, giải phương trình y ' = 0 ⇒ x = x0
Tính các giá trị y = y(1); y = y(-1); y = y(x0)
Trong các giá trị vừa tính được, giá trị nào lớn nhất chính là giá trị M cần tìm.
∗ Cách giải
Ta có: y ' = 3x2 - 6x = 0 ⇔
Với x = 2 không thuộc [-1; 1]
Có: y(0) = 0; y(1) = 1 - 3 = -2; y(-1) = -1 - 3 = -4
Vậy M = y(0) = 0.
→ Chọn câu B.
Bài 3: Giá trị lớn nhất của hàm số
A. -5
B.
C.
D. -9
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Sử dụng chức năng Mode 7 hoặc khảo sát sự biến thiên của hàm số trên đoạn [-4; -1].
∗ Cách giải
Ta có:
Ta tính được: y(-4) =
Vậy
→ Chọn câu A.
Bài 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y = -x2 + mx -1 bằng 3.
A. m = -4 hoặc m = 4
B. m = 4
C. m =
D. m = 2
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Ta thấy hàm số y = -x2 + mx -1 có hệ số a = -1 < 0 nên hàm số có đồ thị là parabol có bề lõm quay xuống nên giá trị lớn nhất của hàm số đạt được tại đỉnh của parabol.
∗ Cách giải
Ta thấy hàm số y = -x2 + mx -1 có hệ số a = -1 < 0 nên hàm số có đồ thị là parabol có bề lõm quay xuống nên giá trị lớn nhất của hàm số đạt được tại đỉnh của parabol.
Hàm số có giá trị lớn nhất bằng
→ Chọn câu A.
Bài 5: Cho hàm số
A. m ∈ [0; 1]
B. m ∈ [1; 2]
C. m ∈ (0; 6)
D. m ∈ (-3; -2)
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
• Tính y '
• Nếu
• Nếu
∗ Cách giải
Do đó
→ Chọn câu A.
Trên đây là những kiến thức liên quan đến chuyên đề giá trị lớn nhất của hàm số. Bài viết đưa ra một số ví dụ cụ thể, cùng với đó là các dạng bài tập thường gặp trong bài toán tìm giá trị lớn nhất của hàm số và hướng dẫn cách giải cụ thể cho từng bài. Hy vọng bài viết đã chia sẻ cho các bạn học sinh những thông tin bổ ích cho quá trình học tập. Chúc các bạn học thật tốt!
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang