Table of Contents
Một trong số các kiến thức về hàm số thì giá trị nhỏ nhất và cực tiểu là hai khái niệm mà tính chất của nó có ứng dụng rất nhiều trong thực tiễn, tuy nhiên việc nhầm lẫn giữa hai khái niệm đó là rất phổ biến. Chủ đề giá trị nhỏ nhất của hàm số sẽ được mô tả và giải nghĩa để phân biệt rõ hơn với khái niệm cực tiểu của hàm số.
1. Khái niệm về giá trị nhỏ nhất của hàm số
Xét hàm số y = f(x) xác định trên D
m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu:
2. Cách tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
2.1. Cách 1: Thực hiện theo 03 bước sau để tìm GTNN của hàm số
• Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
• Bước 2: f '(x) = 0 giải phương trình tìm nghiệm và các điểm xi mà tại đó đạo hàm của hàm số không xác định.
• Bước 3: So sánh các giá trị của f(xi), f(a), f(b). Từ đó đưa ra kết luận.
Lưu ý: Hoàn toàn tương tự khi xét hàm số trên khoảng, tuy nhiên nếu hàm số đạt giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất trên khoảng là f(a), f(b) thì hàm số sẽ không có giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất.
2.2. Cách 2: Sử dụng máy tính Casio để tìm GTNN của hàm số
Dùng máy tính Casio FX-570 VNPLUS để giải nhanh toán trắc nghiệm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất max min của hàm số:
• Nhập Mode 7, nhập f (X) = …
• Start? a = → End? b = → Step? α =
• (α ta chọn tùy vào đoạn trong đề bài)
Ta nhận được bảng giá trị:
⇒ Từ bảng giá trị f(x), tìm giá trị nhỏ nhất.
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x3 + 3x2 trên đoạn [-1; 3].
- Ta có f(x) = 3x2 + 6x
- Ta thấy f '(x) = 0 ⇔
- Ta có a = -1; x1 = 0; b = 3
f(-1) = 2; f(0) = 0; f(3) = 54
- Ta thấy f(0) = 0 là nhỏ nhất.
Vậy
- Nhập MODE 7, nhập f(X) = X3 + 3X2
Start? – 1 = End? 3 = Step? 0.5 =
- Bảng giá trị:
Từ bảng giá trị, ta thấy f(0) = 0 là giá trị nhỏ nhất
Ví dụ 2: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 - 3x + 5 trên đoạn [0; 2] là:
A.
B.
C.
D.
Giải
Xét hàm số y = x3 - 3x + 5 liên tục trên đoạn [0; 2].
Có
Ta có: y(1) = 3; y(0) = 5; y(2) = 7 . Do đó
→ Chọn câu B.
» Xem thêm: Phương pháp tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số
3. Phân biệt giá trị nhỏ nhất của hàm số và cực tiểu hàm số
Dựa trên hình vẽ ta dễ dàng nhận xét được:
- x1, x2, x3 là các điểm cực trị
- x1, x3 là điểm cực tiểu
- x2 là điểm cực đại
- f(x1), f(x3) là giá trị cực tiểu
- f(x2) là giá trị cực đại
∗ Nhận xét giá trị nhỏ nhất của hàm số và cực tiểu hàm số:
- Nếu xét trên (a;b) ta có giá trị f(x1) là giá trị nhỏ nhất của hàm số theo như hinh vẽ minh họa. Như vậy ta nói f(x1) vừa là giá trị cực tiểu của hàm số vừa là giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Nếu xét trên (a; x1) ta có giá trị tại x = x1 là giá trị nhỏ nhất của hàm số theo như hình vẽ minh họa. Tuy nhiên vì là khoảng nên hàm số f(x) không đạt giá trị tại x = x1 nên ta nói trên khoảng (a; x1) hàm số không có giá trị nhỏ nhất. Như vậy ta nói giá trị cực tiểu của hàm số không là giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Điều đó vẫn đúng kể cả khi xét f(x) trên đoạn [a; b] vì f(x1) < f(x3) theo như hình vẽ minh họa.
4. Bài tập tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
A.
B.
C. Không tồn tại
D.
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
• Tính đạo hàm của hàm số và giải phương trình y ' = 0.
• Tính giá trị của hàm số tại các đầu mút của đoạn [1;4] và các nghiệm của phương trình y ' = 0.
∗ Cách giải
Điều kiện x ≠ -3
Ta có: y ' =
⇒
Lại có:
→ Chọn câu D.
Bài 2: Gọi m là giá trị để hàm số y =
A. m2 ≠ 16
B. 3 < m < 5
C.
D.
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Chứng minh hàm số luôn đơn điệu trên [0; 3] từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên [0; 3]
Cho giá trị nhỏ nhất = -2, giải phương trình tìm m.
∗ Cách giải
Ta có: y =
⇒ Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng:
⇒
Suy ra,
→ Chọn câu D.
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên [a; b].
• Bước 1: Tính y’, giải phương trình y ' = 0 ⇒ các nghiệm xi ∈ [a; b]
• Bước 2: Tính các giá trị y(a); y(b); y(xi)
• Bước 3: So sánh và rút ra kết luận:
∗ Cách giải
Tập xác định:
Ta có:
y ' =
y(0) =
⇒
→ Chọn câu A.
Bài 4: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) =
A. m = -2
B. m = 1
C. m = -2 và m = -1
D. m = -2 và m = 1
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn theo phương pháp ở trên.
Biện luận theo tham số m (nếu cần) để có đầy đủ các trường hợp.
∗ Cách giải
Tập xác định:
Ta có: f '(x) =
⇒ f(0) < f(1) nên
-m2 - m = -2 ⇔ m2 + m - 2 = 0 ⇔
→ Chọn câu D.
Bài 5: Hàm số y = (x + m)3 + (x + n)3 - x3 (tham số m;n) đồng biến trên khoảng
A. -16
B.
C. 4
D.
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Tìm điều kiện để hàm số đồng biến trên
Dựa vào điều kiện đó để tìm giá trị nhỏ nhất của P
∗ Cách giải
Có y ' = 3(x + m)2 + 3(x + n)2 - 3x2 = 3(x2 + 2(m +n)x + m2 + n2)
Hàm số đã cho đồng biến trên R. ⇔ x2 + 2(m + n)x + m2 + n2 ≥ 0 ∀x ∈ R.
⇔
Khi đó
Kiểm tra thấy dấu " = " xảy ra
⇔
⇔
→ Chọn câu B.
Với số lượng các dạng bài tập rất phổ biến và thường gặp trong các đề thi thì chúng ta cần lưu ý thật kĩ. Xét về khái niệm, chúng ta cần hiểu rõ định nghĩa về giá trị nhỏ nhất của hàm số và phân biệt khái niệm đó với cực tiểu. Ngoài ra đối với các dạng toán trắc nghiệm thì phương pháp sử dụng máy tính Casio sẽ giúp chúng ta tối ưu về mặt thời gian. Đó sẽ là một lợi thế, tuy nhiên cần kiểm tra lại để có được đáp án chính xác nhất.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang