Hàm đa thức là gì? Khái niệm & bài tập vận dụng

Trong chương trình bậc THCS, tri thức toán về hàm đa thức có nhắc đến đó là hàm y = ax+b có dạng đường thẳng gọi là hàm bậc nhất, hàm y = ax²+bx+c (a khác 0) có dạng đường Parabol gọi là hàm bậc hai. Như vậy khái niệm hàm đa thức ở bậc THPT sẽ nhắc đến hai loại hàm có bậc cao hơn. Việc mô tả chi tiết từ khái niệm cho đến tính chất hàm sẽ giúp các bạn hiểu tường minh kiến thức nền tảng về hàm số từ đó có thể vận dụng vào các bài toán thuộc cơ bản – nâng cao.

1. Hàm đa thức là gì?

Hàm đa thức là hàm số chỉ bao gồm các lũy thừa nguyên không âm của biến số. Bậc của hàm đa thức được xác định là bậc cao nhất của biến số. Tập xác định của một hàm đa thức bất kỳ là .

Hàm đa thức thường được kí hiệu là P(x) và có dạng như sau:

P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₂x² + a₁x + a₀, trong đó là hệ số tương ứng của

Như đã nói ở trên, trong chương trình bậc THPT chỉ đề cập đến hàm đa thức bậc 3 và hàm đa thức bậc 4 trùng phương.

2. Hàm đa thức bậc 3

Hàm số bậc ba có dạng:

• Tập xác định: D =

• Đạo hàm:

• Điểm đối xứng

• Giao điểm của đồ thị hàm số với Oy là (0;d).

• Hoành độ điểm uốn (trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị).

y '' = 0 ⇔ x =

• Đồ thị

Trường hợp 1: a > 0

Phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt (Điều kiện: > 0 )

• Có 1 cực đại, 1 cực tiểu.

• Đồng biến trên các khoảng (-∞; x_CĐ); (x_CT; +∞)

• Nghịch biến trên (ĐCĐ; ĐCT) 

Phương trình y' = 0 có nghiệm kép (Điều kiện: = 0)

• Không có cực trị

• Luôn đồng biến trên

Phương trình y' = 0 vô nghiệm (Điều kiện: < 0)

• Không có cực trị

• Luôn đồng biến trên

Trường hợp 2: a < 0

Phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt (Điều kiện: > 0)

• Có 1 cực đại, 1 cực tiểu.

• Nghịch biến trên các khoảng (-∞;x_CĐ); (x_CT;+∞)

• Đồng biến trên (x_CĐ; x_CT)

Phương trình y' = 0 có nghiệm kép (Điều kiện: = 0)

• Không có cực trị

• Luôn nghịch biến trên

Phương trình y' = 0 vô nghiệm (Điều kiện: < 0)

• Không có cực trị

• Luôn nghịch biến trên

3. Hàm đa thức bậc 4 trùng phương

Hàm số bậc bốn trùng phương có dạng:

• Tập xác định: D =

• Đạo hàm:

• Trục đối xứng x=0 (trục tung)

• Giao điểm của đồ thị hàm số với Oy là (0;c).

• Đồ thị

Trường hợp 1: a > 0

∗ y ' = 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔ hàm số có ba cực trị a.b < 0

∗ y '= 0 có duy nhất một nghiệm x = 0 ⇔ hàm số có một cực trị a.b ≥ 0

Trường hợp 2: a < 0

∗ y ’= 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔ hàm số có ba cực trị a.b < 0

∗ y ’= 0 có duy nhất một nghiệm x = 0 ⇔ hàm số có một cực trị a.b ≥ 0

4. Nhận dạng đồ thị hàm đa thức

4.1. Hàm số bậc 3

Hàm số bậc ba có dạng: y = f(x) = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0)

• Nhánh cuối có hướng đi lên ⇒ a > 0, nhánh cuối có hướng đi xuống ⇒ a < 0

• Giao điểm với trục tung suy ra dấu của d.

• Các cực trị, hoành độ tâm đối xứng suy ra dấu của b và c

4.2. Hàm số bậc 4 trùng phương

Hàm số bậc bốn trùng phương có dạng: y = f(x) = ax⁴ + bx² + c (a ≠ 0) 

• Nhánh cuối có hướng đi lên ⇒ a > 0, nhánh cuối có hướng đi xuống a < 0

• Giao điểm với trục tung suy ra dấu của c.

• Các cực trị suy ra dấu của b.

5. Bài tập về hàm đa thức

Bài 1: Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào?

A. y = -x³ - 3x² + 2

B. y = x³ - 3x² + 2

C. y = x³ + 3x² - 2

D. y = -x³ + 3x² + 2 

Bài 2: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?

A. y = x⁴ - 4x² - 2

B. y = x⁴ - 4x² + 2

C. y = x⁴ + 4x² + 2

D. y = -x⁴ + 4x² + 2

Bài 3: Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình vẽ?

A. y = x⁴ + 2x² + 1

B. y = x⁴ - 2x² + 1

C. y = -x⁴ - 2x² + 1

D. y = x⁴ + 3x + 1

Bài 4: Đồ thị trong hình dưới là đồ thị của một trong bốn hàm số cho trong các phương án sau đây, đó là hàm số nào?

A. y = -x³ + 3x² + 2

B. y = x³ - 3x² + 2

C. y = x³ - 3x + 2

D. y = x³ - 3x² - 2

Bài 5: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

B.

C.

D.

Hàm đa thức là một bài học rất quan trọng. Trong chương trình THPT các loại hàm số như hàm số bậc ba, hàm bậc bốn trùng phương là một công cụ giúp cho các bạn khảo sát hàm số nâng cao hơn, điều này sẽ được diễn giải chi tiết hơn ở các chủ đề 8+, 9+ về hàm số. Ngoài ra trong kỳ thi THPT QG, các câu về nhận biết hàm số thuộc dạng các câu quan trọng nên chúng ta cần có một kiến thức vững chắc về nội dung. Chúc em học thật tốt!

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang