Hàm số đơn điệu là gì? Cách xét tính đơn điệu của hàm số

Trước khi bước vào bài học về hàm số đơn điệu ta cần nhắc lại về mối quan hệ giữa biến số và hàm số như sau: Nếu giá trị của biến x thay đổi làm cho giá trị của hàm số y thay đổi, ta gọi đó là hàm số phụ thuộc vào biến. Ngược lại nếu giá trị của biến x thay đổi mà giá trị của hàm số y không thay đổi, ta gọi đó là hàm hằng. Trong bài học về hàm số đơn điệu, ta cùng nhau phân tích hàm số phụ thuộc vào biến.

1. Hàm số đơn điệu là gì?

Hàm số y = f (x) được gọi là hàm số đơn điệu trên khoảng (a; b) nếu y = f (x) xác định trên khoảng (a; b) và liên tục tăng hoặc liên tục giảm. Khi đó:

• Hàm số y = f (x) liên tục tăng trên khoảng (a; b) gọi là hàm số đồng biến.

• Hàm số y = f (x) liên tục giảm trên khoảng (a; b) gọi là hàm số nghịch biến.

Ví dụ: Xét hàm số f (x) = 2x + 3 và g (x) = sin²x + cos²x trên khoảng (0; 2).

Ta có bảng giá trị sau:

Dựa vào giá trị của hàm số f (x) và g (x) tại x = 0, x = 1, x = 2 ta thấy hàm số f (x) liên tục tăng và hàm số g (x) có giá trị không đổi.

Vậy f (x) là hàm số đồng biến và g (x) là hàm hằng.

∗ Định nghĩa:

Giả sử hàm số y = f (x) xác định trên K, với K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.

- Hàm số y = f (x) được gọi là đồng biến trên K nếu:

∀x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ : f (x₁) < f (x₂)   

- Hàm số y = f (x) được gọi là nghịch biến trên K nếu:

 ∀x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ : f (x₁) > f (x₂)

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.

2. Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu

∗ Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: 

Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm trên K. Khi đó: 

- Nếu hàm số y = f (x) đồng biến trên K thì f '(x) ≥ 0, ∀x ∈ K.

- Nếu hàm số y = f (x) nghịch biến trên K thì f '(x) ≤ 0, ∀x ∈ K.

∗ Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:

Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:

- Nếu f '(x) > 0, ∀x ∈ K thì hàm số f (x) đồng biến trên khoảng K.

- Nếu f '(x) < 0, ∀x ∈ K thì hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng K.

- Nếu f '(x) = 0, ∀x ∈ K thì hàm số f (x) không đổi trên khoảng K.

∗  Định lí:

Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm trên khoảng K.

- Hàm số y = f (x) đồng biến trên K thì f '(x) ≥ 0, ∀x ∈ K và f '(x) = 0 chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm của t.

- Hàm số y = f (x) nghịch biến trên K thì f '(x) ≤ 0, ∀x ∈ K và f '(x) = 0 chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm của t.

3. Các dạng hàm số đơn điệu thường gặp

3.1. Đơn điệu của hàm đa thức bậc ba trên R

Cho hàm số y = ax³ + bx² + cx + d có y ' = 3ax² + 2bx + c, ∀x ∈ R

∗ Loại 1: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến trên

- TH1: Hàm số suy biến a = b = 0; c > 0

- TH2: Ta có y ' ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ⇔     

∗ Loại 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số nghịch biến trên

- TH1: Hàm số suy biến  a = b = 0; c < 0

- TH2: Ta có y ' ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ ⇔     

3.2. Đơn điệu của hàm đa thức bậc ba trên khoảng

∗ Đối với dạng toán này, tùy vào từng loại hàm số bậc ba mà ta triển khai một trong hai cách làm sau đây:

1.  Nếu y ' = 0 có nghiệm “ đẹp” ( do delta chính phương ): Ta lập bảng xét dấu của y ' , xét khoảng thỏa mãn

2.  Nếu y ' = 0 có nghiệm “ xấu” : ta sử dụng phương pháp cô lập tham số m

∗ Bước 1: Tính   ;  hoặc   ;

∗ Bước 2 :Từ bất phương trình cô lập tham số m, đưa về dạng:

•  ;  ⇔  (lớn hơn số lớn nhất)

•  ;  ⇔  (bé hơn số bé nhất )

3.3. Đơn điệu của hàm phân thức bậc nhất trên mỗi khoảng xác định

Cho hàm số phân thức

Tập xác định của hàm số trên có dạng

Ta có:        

- Đồng biến trên mỗi khoảng xác định miền D khi y ' > 0 ⇔ ad - bc > 0

- Nghịch biến trên mỗi khoảng xác định miền D khi y ' < 0 ⇔ ad - bc < 0

3.4. Đơn điệu của hàm phân thức bậc nhất trên mỗi khoảng cho trước

Cho hàm số phân thức: 

Tập xác định của hàm số trên có dạng 

Ta có:  

∗  Đồng biến trên khoảng K khi thỏa hai điều kiện sau:

∗  Nghịch biến trên khoảng K khi thỏa hai điều kiện sau:

4. Bài tập tính đơn điệu của hàm số

Bài 1: Cho hàm số ( là tham số). Điều kiện của tham số  để hàm số đồng biến trên khoảng  là:

Bài 2: Cho hàm số . Có bao nhiêu giá trị nguyên m không vượt quá 11 để hàm số đồng biến trên khoảng

Bài 3: Tìm tất cả các giá trị của để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định.

Bài 4: Cho hàm số . Số giá trị m nguyên thuộc đoạn để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

Bài 5: Cho hàm số . Tìm giá trị lớn nhất của tham số thực để hàm số đã cho đồng biến trên

Như vậy, sau khi phân biệt được hàm số có phải là hàm số đơn điệu hay không ta có thể sử dụng các tính chất của hàm số đơn điệu vào vận dụng giải các bài toán thực tế, bài toán giải phương trình. Tóm lại, hàm số đơn điệu trên khoảng K là hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng K đó, nội dung này sẽ được mô tả một cách chi tiết hơn trong bài học sau.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang