Picture of the author
SGK Toán 12»Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Th...»Kiến thức quan trọng về khảo sát sự biến...

Kiến thức quan trọng về khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

    Xem thêm

    Có các dạng cơ bản khảo sát hàm số là hàm số bậc ba, bậc bốn và phân thức. Dạng bài tập này được xem là dạng cơ bản và dễ lấy điểm nhất trong các đề thi THPT quốc gia môn Toán. Hãy cùng tìm hiểu và khám phá các bước cơ bản trong quy trình khảo sát hàm số ngay sau đây.


    I. Quy trình khảo sát hàm số

    Sơ đồ chung các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

    • Bước 1: Tập xác định
    • Bước 2: Sự biến thiên
      1. Xét chiều biến thiên của hàm số
        • Tính đạo hàm y’
        • Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm y’ bằng 0 hoặc không xác định
        • Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
      1. Tìm cực trị
      2. Tìm các giới hạn tại vô cực (x → ± ∞), các giới hạn có kết quả là vô cực và tìm tiệm cận nếu có.
      3. Lập bảng biến thiên: Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.
    • Bước 3: Đồ thị
      • Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= ? => (0;?)
      • Giao của đồ thị với trục Ox: y = 0 <=> f(x) = 0 <=> x = ? => (?;0 )
      • Các điểm cực đại, cực tiểu nếu có.

    1. Khảo sát hàm đa thức bậc ba

    • Bước 1: Tập xác định: D=R
    • Bước 2:  Sự biến thiên
      1. Xét chiều biến thiên của hàm số
        • Tính đạo hàm y’
        • Lập phương trình y’= 0, tìm nghiệm, có thể có nghiệm hoặc vô nghiệm.
        • Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
      1. Tìm cực trị
      2. Tìm các giới hạn tại vô cực (x → ± ∞): Lưu ý: Hàm bậc ba và các hàm đa thức không có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
      3. Lập bảng biến thiên với x, y và y’
    • Bước 3: Đồ thị
      • Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= d => (0; d)
      • Giao của đồ thị với trục Ox: y = 0 <=> ax3 + bx2 + cx + d = 0 <=> x = ?
      • Xác định các điểm cực đại, cực tiểu, điểm uốn.
    voh.com.vn-khao-sat-ham-so-1
    Các dạng đồ thị hàm đa thức bậc ba: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ¹ 0) (Nguồn Internet)

    2. Khảo sát hàm đa thức bậc bốn trùng phương

    • Bước 1: Tập xác định: D=R
    • Bước 2:  Sự biến thiên
      1. Xét chiều biến thiên của hàm số
        • Tính đạo hàm y’
        • Lập phương trình y’= 0, tìm nghiệm, có thể có nghiệm hoặc vô nghiệm.
        • Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
      1. Tìm cực trị
      2. Tìm các giới hạn tại vô cực (x → ± ∞): Lưu ý: Các hàm đa thức không có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
      3. Lập bảng biến thiên với x, y và y’
    • Bước 3: Đồ thị
      • Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= d => (0; d)
      • Giao của đồ thị với trục Ox: y = 0 <=> ax4+bx2+c = 0 <=> x = ?
      • Xác định các điểm cực đại, cực tiểu, điểm uốn.
    voh.com.vn-khao-sat-ham-so-2
    Các dạng đồ thị hàm đa thức bậc bốn trùng phương: y = ax4+bx2+c


    3. Khảo sát hàm phân thức

    • Bước 1: Tìm tập xác định
    • Bước 2:  Sự biến thiên
      1. Xét chiều biến thiên của hàm số
        • Tính đạo hàm ý dựa vào tử số
        • Xét dấu đạo hàm y’ luôn dương hay luôn âm, từ đó suy ra hàm số luôn tăng hay luôn giảm.
      1. Luôn không có cực trị
      2. Hàm số luôn có hai tiệm cận là tiệm cận đứng và tiệm cận ngang
      3. Lập bảng biến thiên với x, y và y’
    • Bước 3: Đồ thị
      • Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 => y = ?
      • Giao của đồ thị với trục Ox: y = 0 => x = ?
      • Xác định đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.

    voh.com.vn-khao-sat-ham-so-3

    Các dạng đồ thị hàm phân thức (hàm nhất biến):  

    II. Một số bài tập ví dụ về khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

    Sau đây là một số ví dụ cụ thể về một số dạng bài về khảo sát hàm số:

    Ví dụ 1: Khảo sát hàm số y = 2x3 + 3x2 -1

    voh.com.vn-khao-sat-ham-so-5

    Ví dụ 2: Khảo sát hàm số: y = x4 – 2x2 - 3

    voh.com.vn-khao-sat-ham-so-6

    voh.com.vn-khao-sat-ham-so-7

    voh.com.vn-khao-sat-ham-so-8

    Hy vọng bài viết này đã cung cấp nhiều kiến thức hữu ích cho việc học tập của bạn.

    Tác giả: VOH

    Tiệm cận xiên của hàm số: khái niệm và phương pháp tìm
    Cách tìm điểm uốn của đồ thị hàm số