Picture of the author
Picture of the author
SGK Toán 12»Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Th...»Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm ...

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: Lý thuyết và bài tập áp dụng

Khám phá khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trong toán lớp 12. Tìm hiểu hàm số bậc ba, bậc bốn, phân thức và cách xác định điểm cực trị, sự tăng giảm và vẽ đồ thị để hiểu rõ hơn về hàm số và biểu diễn nó trực quan.

Xem thêm

Chuyên đề khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trong toán lớp 12 là một kiến thức quan trọng và được ra thường xuyên trong đề thi. Bài viết này VOH Giáo dục giới thiệu đến các em học sinh 3 dạng đồ thị cơ bản: hàm số bậc ba, bậc bốn, hàm phân thức. Mỗi dạng hàm số đi kèm ví dụ và bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức.


1. Quy trình khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Sơ đồ chung các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

  • Bước 1: Tập xác định
  • Bước 2: Sự biến thiên
    1. Xét chiều biến thiên của hàm số
      • Tính đạo hàm y’
      • Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm y’ bằng 0 hoặc không xác định
      • Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
    1. Tìm cực trị
    2. Tìm các giới hạn tại vô cực (x → ± ∞), các giới hạn có kết quả là vô cực và tìm tiệm cận nếu có.
    3. Lập bảng biến thiên: Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.
  • Bước 3: Đồ thị
    • Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= ? => (0;?)
    • Giao của đồ thị với trục Ox: y = 0 <=> f(x) = 0 <=> x = ? => (?;0 )
    • Các điểm cực đại, cực tiểu nếu có.

1.1 Khảo sát hàm đa thức bậc ba

  • Bước 1: Tập xác định: D=R
  • Bước 2:  Sự biến thiên
    1. Xét chiều biến thiên của hàm số
      • Tính đạo hàm y’
      • Lập phương trình y’= 0, tìm nghiệm, có thể có nghiệm hoặc vô nghiệm.
      • Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
    1. Tìm cực trị
    2. Tìm các giới hạn tại vô cực (x → ± ∞): Lưu ý: Hàm bậc ba và các hàm đa thức không có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
    3. Lập bảng biến thiên với x, y và y’
  • Bước 3: Đồ thị
    • Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= d => (0; d)
    • Giao của đồ thị với trục Ox: y = 0 <=> ax3 + bx2 + cx + d = 0 <=> x = ?
    • Xác định các điểm cực đại, cực tiểu, điểm uốn.
voh.com.vn-khao-sat-ham-so-1
Các dạng đồ thị hàm đa thức bậc ba: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ¹ 0) (Nguồn Internet)

1.2. Khảo sát hàm đa thức bậc bốn trùng phương

  • Bước 1: Tập xác định: D=R
  • Bước 2:  Sự biến thiên
    1. Xét chiều biến thiên của hàm số
      • Tính đạo hàm y’
      • Lập phương trình y’= 0, tìm nghiệm, có thể có nghiệm hoặc vô nghiệm.
      • Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
    1. Tìm cực trị
    2. Tìm các giới hạn tại vô cực (x → ± ∞): Lưu ý: Các hàm đa thức không có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
    3. Lập bảng biến thiên với x, y và y’
  • Bước 3: Đồ thị
    • Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= d => (0; d)
    • Giao của đồ thị với trục Ox: y = 0 <=> ax4+bx2+c = 0 <=> x = ?
    • Xác định các điểm cực đại, cực tiểu, điểm uốn.
voh.com.vn-khao-sat-ham-so-2
Các dạng đồ thị hàm đa thức bậc bốn trùng phương: y = ax4+bx2+c


1.3. Khảo sát hàm phân thức

  • Bước 1: Tìm tập xác định của hàm phân thức
  • Bước 2:  Sự biến thiên
    1. Xét chiều biến thiên của hàm số
      • Tính đạo hàm ý dựa vào tử số
      • Xét dấu đạo hàm y’ luôn dương hay luôn âm, từ đó suy ra hàm số luôn tăng hay luôn giảm.
    1. Luôn không có cực trị
    2. Hàm số luôn có hai tiệm cận là tiệm cận đứng và tiệm cận ngang
    3. Lập bảng biến thiên với x, y và y’
  • Bước 3: Đồ thị
    • Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 => y = ?
    • Giao của đồ thị với trục Ox: y = 0 => x = ?
    • Xác định đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.

voh.com.vn-khao-sat-ham-so-3

Các dạng đồ thị hàm phân thức (hàm nhất biến):  

2. Một số bài tập ví dụ về khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Sau đây là một số ví dụ cụ thể về một số dạng bài về khảo sát hàm số:

Ví dụ 1: Khảo sát hàm số y = 2x3 + 3x2 -1

voh.com.vn-khao-sat-ham-so-5

Ví dụ 2: Khảo sát hàm số: y = x4 – 2x2 - 3

voh.com.vn-khao-sat-ham-so-6

voh.com.vn-khao-sat-ham-so-7

voh.com.vn-khao-sat-ham-so-8

Trên đây VOH Giáo dục đã tổng hợp các cách khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số gồm lý thuyết và bài tập ví dụ cụ thể giúp các em học sinh dễ dàng nắm bắt kiến thức và áp dụng. Hy vọng bài viết này đã cung cấp nhiều kiến thức hữu ích cho các em trong học tập. 


Chịu trách nhiệm nội dung: Trường THCS - THPT Nguyễn Khuyến - Tổ Toán

Tác giả: VOH

Tiệm cận xiên là gì? Cách tìm tiệm cận xiên của hàm tham số
Cách tìm điểm uốn của đồ thị hàm số