Lũy thừa với số mũ thực là gì? Tính chất, công thức & bài tập vận dụng

Trong chương trình toán bậc THPT, Hàm số lũy thừa và hàm số logarit là nội dung của chương 2. Đây là nội dung tuy mới mẻ nhưng được xây dựng dựa trên kiến thức của bậc THCS, các phép biến đổi cũng như các tính chất của lũy thừa là hoàn toàn quen thuộc. Tuy nhiên, nội dung của chương trình Toán 12 hầu như xoay quanh việc khảo sát hàm nên ngoài việc biết các nội dung về rút gọn biểu thức, tính toán lũy thừa chúng ta còn phải biết xét tính biến thiên của hàm số để vận dụng vào giải quyết các bài toán biện luận cũng như hàm ẩn. Đó chính là khái quát nội dung về chủ đề lũy thừa với số mũ thực.

1. Lũy thừa với số mũ thực

• Đọc là: a mũ α.

• Hoặc a lũy thừa α.

• Hoặc Lũy thừa cơ số a số mũ α.

Ví dụ: Các lũy thừa 3³; (-5)²; (-9)^-2

*Số mũ α 

• Nguyên dương:

• α = n, n ∈ N*

Điều kiện cơ số a

• Nguyên dương:

• a ∈ R

Lũy thừa a^α

• Nguyên dương:

•

*Số mũ α 

• Không 

• α = 0

Điều kiện cơ số a

• Không

• a ≠ 0

Lũy thừa a^α

• Không

• a⁰ = 1

*Số mũ α

• Nguyên âm

• α = -n, n ∈ N*

Điều kiện cơ số a

• Nguyên âm

• a ≠ 0

Lũy thừa a^α

• Nguyên âm

•

*Số mũ α

• Hữu tỉ

• α = r = , m ∈ Z, n ∈ N, n ≥ 2

Điều kiện cơ số a

• Hữu tỉ

• a > 0

Lũy thừa a^α

• Hữu tỉ

•

*Số mũ α

• Vô tỉ 

• , , ,

Điều kiện cơ số a

• Vô tỉ 

•

Chú ý: Chú ý điều kiện của cơ số a đối với từng dạng số mũ α.

Không tồn tại lũy thừa 0⁰.

∗ Định nghĩa căn bậc n

Cho b ∈ R và n ∈ N (n ≥ 2)

Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu aⁿ = b.

• Với n lẻ:

Có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu .

• Với n chẵn:

Nếu b > 0: có hai căn bậc n của b là hai số đối nhau, kí hiệu là và

Nếu b < 0: không tồn tại căn bậc n của b.

Nếu b = 0: có một căn bậc n của b là số 0.

Ví dụ: 

Số 2 được gọi là căn bậc 3 của số 8 vì 2³ = 8.

Số -3 được gọi là căn bậc 4 của số 81 vì (-3)⁴ = 81.

Số -64 có một căn bậc 3 là số -4.

Số 8 có một căn bậc 3 là số

Số -4 có một căn bậc 5 là số

Số 81 có hai căn bậc 4 là 3 và -3.

Số 16 có hai căn bậc 2 là 4 và -4

2. Các công thức lũy thừa với số mũ thực

Các công thức lũy thừa

•

•

•

•

Với a,b > 0, α, β ∈ R

•

•

•

•

•

•

•           

•      

- Nếu a > 1 thì a^α > a^β ⇔ α > β

- Nếu 0 < a < 1 thì a^α > a^β ⇔ α < β

3. Hàm số lũy thừa với số mũ thực

Hàm số lũy thừa có dạng y = x^α, α ∈ R

• Tập xác định:  Với α nguyên dương thì D = R.

Với α nguyên âm hoặc bằng 0 thì D = R \ {0}.

Với α không nguyên thì D = (0; +∞).

• Đạo hàm: y ' = (x^α)^' = αx^α-1.

• Khảo sát hàm số trên tập (0; +∞):

Hàm số y = x^α (α > 0)

• Luôn đồng biến.

• Không có tiệm cận.

• Luôn đi qua điểm (1; 1).

• Đồ thị: Luôn nằm trong góc phần tư thứ nhất.

Hàm số y = x^α (α < 0)

• Luôn nghịch biến.

• Tiệm cận ngang là Ox.

• Tiệm cận đứng là Oy.

• Luôn đi qua điểm (1; 1).

• Đồ thị: Luôn nằm trong góc phần tư thứ nhất.

4. Công thức đạo hàm hàm số lũy thừa với số mũ thực

•

•

5. Bài tập lũy thừa với số mũ thực

Bài 1: Hàm số xác định khi:

A. ∀x ∈ R

B. Không tồn tại x

C. -4 < x <1

D. x > 4; x < -1

Bài 2: Đạo hàm của hàm số là:

A.

B.

C.

D.

Bài 3: Tìm tất cả các giá trị của x để biểu thức có nghĩa

A.

B.

C.

D.

Bài 4: Viết biểu thức về dạng lũy thừa 3^m ta được giá trị của m là

A.

B.

C.

D.

Bài 5: Cho . Giá trị của là

A. 1008

B.

C. 2017

D. 1006

Chủ đề lũy thừa với số mũ thực là một trong số các nội dung chính của kì thi THPTQG, khoảng 3 - 4 câu ở mức độ nhận biết và thông hiểu với các dạng toán quen thuộc thường xuyên xuất hiện trong đề ngoài ra ở mức độ vận dụng vận dụng cao 1 - 2 câu là có sử dụng đến kiến thức của chủ đề về hàm số mũ. Hai ví dụ cuối cùng trong chủ đề trên là một trong số các câu đòi hỏi chúng ta cần có tư duy về hàm, nội dung này nằm ở mức độ vận dụng.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang