Picture of the author
Picture of the author
SGK Toán 12»Hàm Số Lũy Thừa Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôga...»Phương pháp logarit hóa và giải các bài ...

Phương pháp logarit hóa và giải các bài tập cực hay, dễ hiểu

(VOH Giáo Dục) - Logarit hóa là gì? Trong bài này, mọi người sẽ được học về cách giải phương trình mũ bằng phương pháp logarit hóa. Đây là bài học thuộc Chương 2 Giải tích Toán 12 – ôn thi tốt nghiệp THPT môn toán.

Xem thêm

Logarit hóa là một phương pháp phổ biến và dễ dàng để giải quyết các bài toán phương trình mũ và bất phương trình mũ trong chương trình Toán 12. Đây cũng là một trong những dạng bài trọng điểm trong kỳ thi trung học phổ thông quốc gia trong những năm gần đây. Vậy logarit hóa là gì và vận dụng nó như thế nào vào các bài tập từ cơ bản đến nâng cao? Chúng ta hãy cùng VOH Giáo Dục tìm hiểu nhé !


1. Các cách giải phương trình mũ bằng phương pháp logarit hóa

1.1. Dạng 1: Cách giải phương trình mũ a^f(x) = b bằng phương pháp logarit hóa

Khi phương trình mũ ta có dạng: af(x) = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

∗ Phương pháp giải:

• Ta lấy logarit cơ số a của hai vế của phương trình, ta được dạng: f(x) = loga b

• Giải phương trình tương đương

1.2. Dạng 2: Cách giải phương trình mũ a^f(x) = a^g(x) bằng phương pháp logarit hóa

Khi phương trình mũ ta có dạng: af(x) = ag(x) (a > 0, a ≠ 1)

∗ Phương pháp giải:

       • Ta lấy logarit cơ số a của hai vế của phương trình, ta được dạng: f(x) = g(x) hoặc a = 1

       • Giải phương trình tương đương

1.3. Dạng 3: Cách giải phương trình mũ a^f(x) = b^g(x) bằng phương pháp logarit hóa

Khi phương trình mũ ta có dạng: af(x) = ag(x) (a > 0, a ≠ 1)

Phương pháp giải:

• Ta lấy logarit cơ số a của hai vế của phương trình, ta được dạng: f(x) = g(x) . loga b

• Giải phương trình tương đương

Chú ý:

Nếu a.b = 1 ⇒ b = = a-1 ⇒ af(x) = bg(x)

⇔ af(x) = a-g(x)

⇔ a = 1 hoặc .

1.4. Dạng 4: Cách giải bất phương trình mũ bằng phương pháp logarit hóa

Ta có dạng bất phương trình mũ af(x) > bg(x)

Khi logarit hai vế của bất phương trình mũ af(x) > bg(x) ta sẽ có hai trường hợp:

• Nếu a > 1 khi đó bất phương trình tương đương là loga af(x) > loga bg(x) ⇔ f(x) > g(x).loga b

• Nếu 0 < a < 1 khi đó bất phương trình tương đương là loga af(x) < loga bg(x) ⇔ f(x) < g(x).loga b

2. Bài tập tổng hợp các phương pháp giải logarit hóa

Bài 1: Cho phương trình 4 = 64, tổng các nghiệm thực của phương trình là:

A.

B. 3

C. 6

D.

ĐÁP ÁN

∗ Phương pháp

Sử dụng cách giải phương trình mũ af(x) = b bằng phương pháp logarit hóa.

∗ Cách giải

Ta có 4 = 64

⇔ log4 4 = log4 64

⇔ x2 - 3x + 4 = 3

⇔ x2 - 3x + 1 = 0

⇒ x1 + x2 = 3

→ Chọn câu B.  

Bài 2: Tìm tập nghiệm của phương trình

A. S = {0; 1}

B. S = {-1; 1}

C. S =

D. S =

ĐÁP ÁN

∗ Phương pháp

Sử dụng cách giải phương trình mũ af(x) = b bằng phương pháp logarit hóa.

∗ Cách giải

Ta có = 4

⇔ x2 = 1 ⇔

→ Chọn câu B.  

Bài 3: Giải phương trình =

A. x = 8

B. x = 6

C. x = 4

D. x = 2

ĐÁP ÁN

∗ Phương pháp

Sử dụng cách giải phương trình mũ af(x) = ag(x) bằng phương pháp logarit hóa

∗ Cách giải

Ta có  =

=

⇔ 10x - 14 = 2x + 2

⇔ x = 2

→ Chọn câu D.  

Bài 4: Giải phương trình 163x-4 = 32x + 4

A. x = 0

B. x =

C. x =

D. x =

ĐÁP ÁN

∗ Phương pháp

Sử dụng cách giải phương trình mũ af(x) = ag(x) bằng phương pháp logarit hóa

∗ Cách giải

Ta có: 24(3x-4) = 25(x+4)

Logarit hai vế cho cơ số 2

⇔ 4(3x - 4) = 5(x + 4)

⇔ 12x - 16 = 5x + 20

⇔ x =

→ Chọn câu C.

Bài 5: Số nghiệm của phương trình mũ là:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

ĐÁP ÁN

∗ Phương pháp

Sử dụng cách giải phương trình mũ af(x) = ag(x) bằng phương pháp logarit hóa

∗ Cách giải

Ta có

⇔ 2x - 1 = 1 hoặc

⇔ x = 1 hoặc  

⇔ x = 1 hoặc .

→ Chọn câu C.

Bài 6: Cho phương trình: . Khẳng định nào sau đây đúng

A. Tích các nghiệm của phương trình là một số âm.

B. Tổng các nghiệm của phương trình là một số nguyên.

C. Nghiệm của phương trình là các số vô tỉ.

D. Phương trình vô nghiệm

ĐÁP ÁN

∗ Phương pháp

Sử dụng cách giải phương trình mũ af(x) = bg(x) bằng phương pháp logarit hóa

∗ Cách giải


Hoặc  

⇔ x = 1

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1}.

→ Chọn câu B. 

Bài 7: Cho phương trình: = . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. S = {0; }

B. S = {0; }

C. Phương trình vô nghiệm

D. S = {0}

ĐÁP ÁN

∗ Phương pháp

Sử dụng cách giải phương trình mũ af(x) = bg(x) bằng phương pháp logarit hóa

∗ Cách giải

Ta có: 28 +

= 16 + 2. 4. +

=

=

=

⇔ x - 2 = 2(x2 + x - 1)

⇔ 2x2 + x = 0

⇔ x(2x + 1) = 0

→ Chọn câu B. 

Bài 8: Ta có phương trình = 54-x. Số tập nghiệm của phương trình

A. 1

B. 2

C. 5

D. Vô số

ĐÁP ÁN

∗ Phương pháp

Sử dụng cách giải phương trình mũ af(x) = bg(x) bằng phương pháp logarit hóa

∗ Cách giải

Ta có  = 54-x.

→ Chọn câu A.

Bài 9: Tìm tập nghiệm và bất phương trình >

A. (1; +∞)

B. (-∞; 1)

C. [8; +∞)

D. (-∞; 8]

ĐÁP ÁN

∗ Phương pháp

Sử dụng cách giải bất phương trình mũ bằng phương pháp logarit hóa

∗ Cách giải

Nếu 0 < a < 1 khi đó bất phương trình tương đương là

loga af(x) < loga bg(x) ⇔ f(x) < g(x) . loga b

Ta thấy bất phương trình có dạng af(x) > bg(x)

Mà a = (0 < a < 1)

Logarit hai vế của cơ số ta được

⇔ 3x - 4 < -5x + 4

⇔ 8x < 8

⇔ x < 1

→ Chọn câu B. 

Bài 10: Tập nghiệm S của bất phương trình 102x+4 < là:

A. S = (-∞; 2)

B. S = (-∞; 4)

C. S = (4; +∞)

D. S = (2; +∞)

ĐÁP ÁN

∗ Phương pháp

Sử dụng cách giải bất phương trình mũ bằng phương pháp logarit hóa

∗ Cách giải

Biến đổi bất phương trình thành:

102x+4 <      

⇔ 102x+4 < 104x

Vì a = 10 (a > 0) nên logarit hai vế của cơ số 10 ta được

2x + 4 < 4x

⇔ 2x > 4

⇔ x > 2

Vậy, bất phương trình có tập nghiệm S = (2; +∞)

→ Chọn câu D.

Bài 11: Phương trình = 125m-1 vô nghiệm khi và chỉ khi

A. m < 5

B. m ≤ 1

C. m ≤ 5

D. m < 1

ĐÁP ÁN

∗ Phương pháp

Đưa về cùng cơ số và logarit hai vế để giải phương trình trên mũ

∗ Cách giải

= 125m-1

= 125m-1

= m - 1

Phương trình đã cho vô nghiệm  

⇔ m - 1 < 0

⇔ m < 1

→ Chọn câu D. 

Bài 12: Cho phương trình m.6 + 6 = 6.63-4x + m. Có bao nhiêu giá trị m nguyên thỏa mãn để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

A. 1 

B. 2

C. 3

D. 4

ĐÁP ÁN

∗ Phương pháp

Đưa phương trình về dạng tích, tìm điều kiện để phương trình có 4 nghiệm phân biệt

∗ Cách giải

Viết phương trình về dạng

m.6 + 6 = 6.63-4x + m

Để phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt

Thì (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 và 3

(*) ⇔

Điều kiện là

⇒ m = {2,3,4,5}

→ Chọn câu D. 

Bài viết là toàn bộ dạng bài về phương trình mũ và bất phương trình mũ được giải bằng phương pháp logarit hóa. Đây là các dạng toán khá phố biến và quan trọng trong kì thi trung học phổ trong quốc gia môn Toán. Do đó các bạn hãy xem thật kĩ và luyện tập với nhiều dạng bài tập.


Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang

Tác giả: Huỳnh Nguyễn Minh Phi

Bất phương trình logarit và các phương pháp giải cực hay, dễ hiểu