Picture of the author
Picture of the author
SGK Toán 12»Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Th...»Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến t...

Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng

Tìm hiểu điều kiện để một hàm số đồng biến, nghịch biến khoảng. Tìm m để hàm số bậc 3 đồng biến hoặc nghịch biến trên R. Tìm m để hàm số phân thức đồng biến hoặc nghịch biến trên từng khoảng xác định hoặc trên khoảng cho trước.

Xem thêm

Trong chương trình học, tìm m để hàm số đơn điệu là dạng toán tương đối khó. Tuy nhiên, nếu các em nắm vững phương pháp thì việc xử lý các dạng toán này sẽ trở nên dễ dàng. Bài viết dưới đây, chúng ta sẽ tìm hiểu các dạng toán tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng liên quan đến 2 hàm số quen thuộc trong chương trình Toán học. Đó là hàm bậc 3 và hàm phân thức.


1. Điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến

Giả sử hàm số  có đạo hàm trên 

• Nếu với mọi  và  chỉ tại một số hữu hạn điểm  thì hàm số  đồng biến trên .

• Nếu với mọi  và  chỉ tại một số hữu hạn điểm  thì hàm số  nghịch biến trên .

» Xem thêm: Hàm số đồng biến, nghịch biến là gì? Định nghĩa và cách xác định

2. Tìm m để hàm số bậc ba đồng biến (hoặc nghịch biến) trên tập xác định

*Phương pháp giải:

- Bước 1. Tập xác định

- Bước 2. Tính đạo hàm

- Bước 3.

◦ Hàm số đồng biến trên  

   

◦ Hàm số nghịch biến trên  

   

Chú ý: Nếu a có chứa tham số thì xét thêm trường hợp a = 0

Ví dụ 1.  Cho hàm số  (với  là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của  để hàm số nghịch biến trên ?

A. 0.

B. 6.

C. 5.

D. 7.

Lời giải

Tập xác định: .

.

Hàm số nghịch biến trên


 ( Các em có thể dùng Δ)




 . Vậy 7 có giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài.

⇒ Chọn D

Ví dụ 2.  Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số  đồng biến trên .

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Tập xác định:

Ta có: .

Hàm số đồng biến trên  


.

Chọn A

Ví dụ 3.  Có bao nhiêu giá trị nguyên  để hàm số  đồng biến trên

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Lời giải

Tập xác định:

Trường hợp 1:      

+ Với ,  

 

  (không thỏa)

⇒ loại .

+ Với ,  

  (thỏa)

⇒ nhận .

Trường hợp 2:       .

Ta có   

Khi đó, Hàm số đồng biến trên  






Vậy, từ hai trường hợp trên ta được .

. Vậy có 2 giá trị nguyên của  thỏa mãn đề bài.

⇒ Chọn C

3. Tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên từng khoảng xác định hoặc trên K cho trước

*Phương pháp giải:

- Tập xác định:

- Tính

Khi đó:

• Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

• Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

• Hàm số đồng biến trên K

• Hàm số nghịch biến trên K

Ví dụ 1. Tìm tất cả giá trị thực của tham số  để hàm số  nghịch biến trên các khoảng mà nó xác định?

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Tập xác định .

Ta có .

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định




⇒ Chọn D

Ví dụ 2. Có tất cả bao nhiêu số nguyên  để hàm số  đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?

A. 1.

B. 0.

C. 2.

D. 3.

Lời giải

Tập xác định:

.

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

 



 Vì  nên

⇒ Chọn C

Ví dụ 3. Cho hàm số  ( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ?

A. 5.

B. 4.

C. 3.

D. 2.

Lời giải

Tập xác định .

Đạo hàm .

Hàm số đồng biến trên  khi và chỉ khi

Do . Vậy có 2 giá trị nguyên của m  thỏa mãn đề bài.

⇒ Chọn D

4. Bài tập tự rèn luyện tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng

Bài 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đồng biến trên ?

A. 2022

B. 7

C. 6

D. 5

ĐÁP ÁN

Tập xác định:

Ta có: .

Hàm số đồng biến trên .

        .

Vậy có 7 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B

Bài 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số  để hàm số  nghịch biến trên ?

A. 8

B. 1

C. 9

D. 10

ĐÁP ÁN

Tập xác định:

Ta có: .

Trường hợp 1:  thì ,

⇒ hàm số nghịch biến trên (thỏa mãn) nhận m = 0.

Trường hợp 2:

Khi đó, yêu cầu bài toán

                         .

Vậy, từ 2 trường hợp trên ta được:

Do m nguyên thuộc khoảng  nên .

Vậy có 10 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D

Bài 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số  nghịch biến trên khoảng

A.

B.

C.

D.

ĐÁP ÁN

Tập xác định .


Hàm số nghịch biến trên khoảng  khi và chỉ khi .

.

Chọn B

  

Bài 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số  nghịch biến trên khoảng .

A. Vô số.

B. 1

C. 3

D. 2

ĐÁP ÁN

Tập xác định .


Hàm số nghịch biến trên

     .

                   

Vì m là số nguyên âm nên . Vậy có 2 giá trị

Chọn D

Bài 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số  nghịch biến trên khoảng

A.

B.

C.

D.

ĐÁP ÁN

Đặt , .

Ta có ,  nên t nghịch biến trên khoảng

.

Do đó, yêu cầu bài toán tìm m để hàm số  nghịch biến trên khoảng

 đồng biến trên .

Tập xác định:

Ta có .

Hàm số  đồng biến trên  khi và chỉ khi: