Table of Contents
Bình phương của một hiệu là một trong bảy hằng đẳng thức đáng nhớ rất quan trọng trong chương trình học. Vậy hằng đẳng thức bình phương của một hiệu có gì đặc biệt và có các dạng bài tập nào liên quan? Hãy cùng tìm hiểu nhé.
1. Bình phương của một hiệu là gì?
Bình phương của một hiệu chính bằng số thứ nhất bình phương trừ đi tích hai lần số thứ nhất và số thứ hai cộng với số thứ hai bình phương. Nghĩa là:
(m – n)2 = m2 – 2mn +n2
Ví dụ: (m – 3)2 = m2 – 2.3.m + 32 = m2 – 6m + 9
2. Một số tính chất của bình phương của một hiệu
- Bình phương của một hiệu luôn lớn hơn hoặc bằng 0 vì một số bình phương luôn không âm, tức là:
Từ đây ta suy ra
Dấu "=" xảy ra <=> m - n = 0 => m = n
Ví dụ:
Dấu "=" xảy ra <=> m - 2 = 0 <=> m = 2
- Bình phương của một hiệu với hiệu đó là số thứ nhất trừ đi số thứ hai bằng bình phương của một hiệu với hiệu đó là số thứ 2 trừ đi số thứ nhất
(m-n)2 = (n-m)2
Ví dụ: (m - 5)2 = (5 - m)2 = 25 - 10m + m2
3. Một số công thức mở rộng của hằng đẳng thức bình phương của một hiệu
(m – n )2 = (m + n)2 – 4mn
( m – n – p)2 = m2 + n2 + p2 -2mn – 2np – 2pm
4. Một số dạng bài tập về bình phương của một hiệu
4.1. Dạng 1: Đưa biểu thức về dạng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu
*Phương pháp giải: Áp dụng công thức bình phương của một hiệu và công thức mở rộng để là được bài toán
Ví dụ: Đưa biểu thức sau về dạng bình phương của một hiệu
m2 – 4m + 4 = m2 -2.2.m +22 = (m – 2)2
Bài tập luyện tập
Đưa biểu thức sau về dạng bình phương của một hiệu:
a) m2 - 24m + 144
b) 16m2 - 16m + 4
c) 49 - 14m + m2
d) 144 - 48m + 4m2
e) n2 - 22m + 121
f) m2 - n2 - 4 - 2mn - 4n - 4m
ĐÁP ÁN
a) m2 - 24m + 144 = m2 - 2.m.12 + 122 = (m - 12)2
b) 16m2 - 16m + 4 = (4m)2 - 2.4m.2 + 22 = (4m - 2)2
c) 49 - 14m + m2 = 72 - 2.7.m + m2 = (7 - m)2
d) 144 - 48m + 4m2 = 122 - 2.12.2m + (2m)2 = (12 - 2m)2
e) n2 - 22m + 121 = n2 - 2.n.11 + 112 = (n-11)2
f) m2 + n2 + 4 - 2mn - 4n - 4m = m2 + n2 + 22 -2.m.n - 2.2.n - 2.2.m = (m - n - 2)2
4.2. Dạng 2: Tách hằng đẳng thức thành các phần tử
*Phương pháp giải: Áp dụng công thức bình phương của một hiệu và công thức mở rộng để là được bài toán
Ví dụ: (2m - 2)2 = (2m)2 - 2.2m.2 + 22 = 4m2 - 8m + 4
Bài tập luyện tập
Tách các hằng đẳng thức sau thành các phần tử
a) ( 2 - 3m)2
b) (m - 15)2
c) ( 2n - 9)2
d) ( m - 9 - n )2
e) ( -2m +2 )2
ĐÁP ÁN
a) ( 2 - 3m)2 = 22 -2.2.3m + (3m)2 = 4 - 12m + 9m2
b) (m - 15)2 = m2 -2.m.15 + 152 = m2 - 30m + 225
c) ( 2n - 9)2 = (2n)2 - 2.2n.9 + 92 = 4n2 - 36n + 81
d) ( m - 3 - n )2 = m2 + 32 + n2 - 2.3.m - 2.3.n - 2.m.n = m2 + 32 + n2 - 6m - 6n - 2mn
e) ( -2m +2 )2 = 22 -2.2.2m + (2m)2 = 4 - 8m + 4m2
4.3. Dạng 3: Tính nhanh giá trị của biểu thức
*Phương pháp giải: Đưa về hằng đẳng thức bình phương của một hiệu và công thức mở rộng để tính
Ví dụ: Tính nhanh giá trị của biểu thức X = m2 - 8m + 16 tại m = 4
Hướng dẫn giải
Ta có: X = m2 - 8m + 16 = m2 - 2.4.m + 42 = ( m - 4)2
Thay m = 4 vào X ta được: X = ( 4 - 4 )2 = 0
Bài tập luyện tập
Tính nhanh giá trị các biểu thức sau:
a) X = 4m2 - 12m + 9 tại m = 2
b) Y = 9n2 - 18n + 9 tại n = 1
c) G = m2 + 9 + n2 - 6m - 6n - 2mn với m = n
ĐÁP ÁN
a) X = 4m2 - 12m + 9 tại m = 2
Ta có: X = (2m - 3)2
Thay m = 2 vào X, có: X = (2.2 - 3)2 = 1
Vậy X = 1 khi m = 2
b) Y = 9n2 - 18n + 9 tại n = 1
Có: Y = (3n - 3)2
Thay n = 1 vào Y, ta có: Y = (3.1 - 3)2 = 0
Vậy Y = 0 khi n = 1
c) G = m2 + 9 + n2 - 6m - 6n - 2mn với m = n
Có: G = (m - 3 - n)2
Thay m = n vào G, ta có: G = (m-3-m)2 = 9
Vậy G bằng 9 khi m=n
4.4. Dạng 4: Tìm min, max của một biểu thức
*Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất bình phương của một hiệu luôn lớn hơn hoặc bằng 0 vì một số bình phương luôn không âm, tức là:
Từ đây ta suy ra
Dấu "=" xảy ra <=> m - n = 0 <=> m = n
*Lưu ý:
- Giá trị nhỏ nhất kí hiệu là min
- Giá trị lớn nhất kí hiệu là max
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức X = m2 - 2m + 10
Hướng dẫn giải
Ta có: X = m2 - 2m + 10 = m2 - 2.1.m + 1 + 9 = (m - 1)2 + 9
Vì
=> min X = 9
Dấu "=" xảy ra <=> m - 1 = 0 => m = 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của X là 9 khi m = 1
Bài tập luyện tập
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) X = 4m2 - 4m + 8
b) Y = n2 - 10n + 34
c) Z = 21 - 8m + m2
ĐÁP ÁN
a) X = 4m2 - 4m + 8
Có X = (2m -1 )2 + 7
Vì
=> Min(X) = 7
Dấu "=" xảy ra <=> 2m - 1 = 0 =>
Vậy GTNN của X là 7 khi
b) Y = n2 - 10n + 34
Có: Y = ( n - 5 )2 + 9
Vì
=> Min (Y) = 9
Dấu "=" xảy ra <=> n - 5 = 0 => n = 5
Vậy GTNN của Y là 9 khi n = 5
c) Z = 21 - 8m + m2
Ta có: Z = (4 - m )2 + 5
Vì
=> Min (Z) = 5
Dấu "=" xảy ra <=> 4 - m = 0 => m = 4
Vậy GTNN của Z là 5 khi m = 4
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a) X = -m2 + 6m - 6
b) Y = - 4n2 + 16n - 20
c) T = -43 + 18n - 9m2
ĐÁP ÁN
a) X = -m2 + 6m - 6
Ta có: X = -m2 + 6m - 6 = -(m2 -6m + 6) = -((m-3)2 - 3) = -(m-3)2 + 3
Vì
=> Max (X) = 3
Dấu "=" xảy ra <=> m - 3 = 0 => m = 3
Vậy GTLN của X là 3 khi m = 3
b) Y = - 4n2 + 16n - 20
Có: Y = -(2n-4)2 - 4
Vì
=> Max(Y) = -4
Dấu "=" xảy ra<=> 2n - 4 = 0 => n = 2
Vậy GTLN của Y là -4 khi n = 2
c) T = -43 + 18n - 9m2
Có: T = -(3m-3)2 - 34
Vì:
=> Max (T) = -34
Dấu "=" xảy ra<=> 3m - 3 = 0 => m = 1
Vậy GTLN của T là -34 khi m = 1
Hy vọng bài viết này sẽ giúp các bạn nắm rõ hơn về hằng đẳng thức bình phương của một hiệu và biết áp dụng vào giải các bài tập liên quan.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang