Table of Contents
- 1. Phân tích đa thức thành nhân tử là gì?
- 2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
- 2.1. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung
- 2.2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức
- 2.3. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử
- 2.4. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử
- 2.5. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp thêm, bớt hạng tử
- 2.6. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt ẩn phụ
- 2.7. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách kết hợp nhiều phương pháp
- 3. Một số bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử lớp 8
Thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử? Có cách nào để phân tích một đa thức thành nhân tử? Bài viết dưới đây sẽ giúp các bạn hiểu và áp dụng để làm các bài tập tốt nhất.
1. Phân tích đa thức thành nhân tử là gì?
Phân tích đa thức thành nhân tử là làm cho đa thức đó trở thành tích của các đa thức khác.
Ví dụ: m2 + 2m = m(m+2)
Mục đích khi phân tích đa thức thành nhân tử là làm cho đa thức ngắn gọn, dễ tính toán hơn.
2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
2.1. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung
Nghĩa là tìm ra trong các đa thức đó có nhân tử nào chung với nhau, sau đó phân tích mỗi hạng tử của đa thức thành nhân tử chung nhân với một nhân tử khác. Đặt nhân tử chung ra ngoài, bên trong ngoặc là tất cả các nhân tử còn lại cùng với phép tính ban đầu của nó.
Nghĩa là:
A.B + A.C = A.(B+C)
Ở đây, A đang là nhân tử chung của biểu thức. Khi đó, ta đặt A ra ngoài, bên trong còn các nhân tử B, C đi cùng với phép tính của nó
Ví dụ: m3 + m2 + m = m(m2 + m + 1)
2.2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức
Biến đổi đa thức có sẵn về các hằng đẳng thức đáng nhớ đã được học.
Ví dụ: m2 – 10m + 25 = (m-5)2
2.3. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử
Các bước làm:
- Nhóm các phần tử thích hợp lại với nhau, sau đó tách thành những nhân tử nhân với nhau
- Đặt nhân tử chung ra ngoài
(Có thể áp dụng các hằng đẳng thức)
Ví dụ:
m2 – 2m – 2n – n2
= m2 – n2 – 2m – 2n
= (m – n)(m + n) – 2 (m+n)
= (m+n)(m-n-2)
2.4. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử
Tách một hạng tử nào đó để làm xuất hiện những hạng tử mà ta có thể nhóm hoặc có thể dùng hằng đẳng thức, cần linh hoạt khi tách để thỏa mãn yêu cầu bài toán
Ví dụ:
m2 + 3m + 2
= m2 + m + 2m + 2
= m(m+1) + 2(m+1)
= (m+1)(m+2)
2.5. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp thêm, bớt hạng tử
Ta có thể thêm, bớt một hạng tử nào đó để làm xuất hiện những hạng tử có thể nhóm hoặc đưa về hằng đẳng thức nào đó.
Ví dụ:
m4 + 64
= m4 + 16m2 +64 - 16m2
= (m2 + 8)2 – (4m)2
= (m2 + 8 – 4m)(m2 + 8 + 4m)
2.6. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Nghĩa là, trong trường hợp, một biểu thức xuất hiện nhiều nhưng lại không phải xuất hiện trong tất cả các phần tử, gây khó khăn trong việc phân tích thì ta sẽ đặt cả biểu thức đó bằng một ẩn nào đó để dễ dàng phân tích
Ví dụ:
(m2 + 5m + 9)2 + 3m(m2 + 5m + 9) + 2m2
Ở đây, ta thấy việc cứ để m2 + 5m + 9 rồi phân tích thì sẽ rất khó khăn và cồng kềnh trong quá trình tính toán. Vì vậy, ta sẽ nghĩ đến việc đặt m2 + 5m + 9 bằng một ẩn phụ nào đó.
Đặt a = m2 + 5m + 9. Biểu thức trở thành
a2 + 3ma + 2m2 = a2 + ma + 2ma +2m2
= a(a+m) + 2m(a+m)
= (a+2m)(a+m)
Sau khi đã phân tích được thành nhân tử với ẩn phụ thì ta trả lại biến cũ:
(m2 + 5m + 9 + 2m)( m2 + 5m + 9 + m)
= (m2 + 7m + 9)( m2 + 6m + 9)
= (m2 + 7m + 9)(m+3)2
2.7. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách kết hợp nhiều phương pháp
Có những biểu thức chúng ta cần kết hợp nhiều phương pháp để có thể phân tích được thành nhân tử. Thông thường, khi phối hợp các phương pháp, người ta sẽ ưu tiên theo thứ tự sau đặt nhân tử chung, hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử, đặt ẩn phụ.
Như ví dụ ở trên, (m2 + 5m + 9)2 + 3m(m2 + 5m + 9) + 2m2
Ta thấy, bài này đã sử dụng kết hợp các phương pháp đó là phương pháp đặt ẩn phụ; tách hạng tử; đặt nhân tử chung rồi khi ra kết quả cuối cùng thì ta thu gọn hơn bằng cách dùng hằng đẳng thức
*Tóm lại: Có nhiều cách để phân tích đa thức thành nhân tử, tuy nhiên, tùy vào từng bài để chúng ta có thể áp dụng phương pháp phù hợp, kết hợp những phương pháp phù hợp để giải quyết bài toán.
3. Một số bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử lớp 8
*Phương pháp giải: Áp dụng linh hoạt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giải bài toán.
Bài tập vận dụng:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 2m2 – 8m + 12m3
b) 21m2n +7mn – 35mn2
c) 25m2 – n2
d) 8 + x3y3
e) 4m2n4 + 4mn2 + 1
f) 3m3 + 5m2 – 3m - 5
g) 5m2 + 6m - 8
h) (m2 + 5 )2 + 6m (m2 + 5 ) + 5m2
i) 7(m2 + 2m + 2 )2 + 3m(m2 + 2m + 2 ) - 4m2
k) 4m2 n + 16mn2 + 16n
l) m3 – 16m2 + 64m
ĐÁP ÁN
a) 2m2 – 8m + 12m3 = 2m(m - 4 + 6m2)
b) 21m2n +7mn – 35mn2 = 7mn(3m + 1 - 5n)
c) 25m2 – n2 = (5m)2 - n2 = (5m - n)(5m+n)
d) 8 + x3y3 = 23 + (xy)3 = (2 + xy)(4 - 2xy + x2y2)
e) 4m2n4 + 4mn2 + 1 = (2mn2)2 + 2.2mn2 + 1 = (2mn2 + 1)2
f) 3m3 + 5m2 – 3m - 5 = 3m3 - 3m + 5m2 - 5 = 3m(m2 - 1) + 5(m2 - 1) = (3m+ 5)(m2 - 1) = (3m+ 5)(m-1)(m+1)
g) 5m2 + 6m - 8 = 5m2 + 6m -20 + 12 = 5m2 - 20 + 6m +12
= 5(m2 – 4 ) + 6(m+2) = 5(m-2)(m+2) + 6(m+2) = (m+2)[5(m-2)+6)] = (m+2)(5m - 4)
h) (m2 + 5)2 + 6m(m2 + 5) + 5m2
Đặt m2 + 5 = a, ta có:
a2 + 6ma + 5m2 = a2 + ma + 5ma + 5m2 = a(a+m) + 5m(a+m) = (a+m)(a+5m)
Trả lại biến cũ, ta được (m2 + 5)2 + 6m(m2 + 5) + 5m2 = (m2 + 5 + m)(m2 + 5 + 5m)
i) 7(m2 + 2m + 2 )2 + 3m(m2 + 2m + 2 ) - 4m2
Đặt b = m2 + 2m + 2, ta có:
7b2 + 3mb - 4m2 = 7b2 + 7mb - 4mb - 4m2 = 7b(b+m) - 4m(b + m) = (7b - 4m)(b+m)
Trả lại biến cũ ta được: [7(m2 + 2m + 2) - 4m](m2 + 2m + 2+m) = (7m2 + 10m + 14)(m2 +3m + 2)
k) 4m2 n + 16mn + 16n
= 4n(m2 + 4m + 4) = 4n(m+2)2
l) m3 – 16m2 + 64m = m(m2 - 16m + 64) = m(m-8)2
Trên đây là toàn bộ các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và một số bài tập để các bạn học sinh tham khảo. Hy vọng bài viết này giúp các bạn nắm rõ hơn về cách phân tích đa thức thành nhân tử lớp 8.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang