Table of Contents
Trong bài viết hôm nay, các bạn học sinh sẽ được giới thiệu một khái niệm mới: Hai tam giác đồng dạng và các trường hợp đồng dạng của tam giác. Từ đó, các bạn sẽ có được những kiến thức cần thiết để giải các bài tập Hình học 8.
1. Các trường hợp đồng dạng của tam giác
1.1. Trường hợp đồng dạng thứ nhất: Các cặp cạnh tương ứng tỷ lệ (cạnh-cạnh-cạnh)
Định lý: Nếu ba cạnh của tam giác này tỷ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó là hai tam giác đồng dạng.
Xét hai tam giác ABC và A'B'C' trong hình bên, hai tam giác này đồng dạng vì:
Ta có tỷ lệ giữa các cặp cạnh như sau:
Vậy ta được:
Suy ra hai tam giác trên đồng dạng:
Một số ví dụ chứng minh hai tam giác đồng dạng bằng trường hợp cạnh-cạnh-cạnh.
Ví dụ 1:
Tam giác ABC và tam giác EDF đồng dạng, vì:
Ta có tỷ lệ giữa các cặp cạnh như sau:
Vậy ta được:
Suy ra hai tam giác trên đồng dạng:
Ví dụ 2:
Tam giác MNP và tam giác GDH đồng dạng, vì:
Ta có tỷ lệ giữa các cặp cạnh như sau:
Vậy ta được:
Suy ra hai tam giác trên đồng dạng:
Ví dụ 3:
Tam giác MNP và tam giác GAB đồng dạng, vì:
Ta có tỷ lệ giữa các cặp cạnh như sau:
Vậy ta được:
Suy ra hai tam giác trên đồng dạng:
1.2. Trường hợp đồng dạng thứ hai: Một cặp góc tương ứng bằng nhau và hai cặp cạnh tương ứng tỷ lệ (cạnh-góc-cạnh)
Định lý: Nếu hai cạnh của tam giác này tỷ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau, thì hai tam giác đồng dạng.
Xét hai tam giác ABC và A'B'C' trong hình bên, hai tam giác này đồng dạng vì:
Ta có tỷ lệ giữa cạnh AB và A'B' là:
Tỷ lệ giữa cạnh BC và B'C' là:
Suy ra:
Lại có:
Vậy ta được hai tam giác trên đồng dạng:
Một số ví dụ chứng minh hai tam giác đồng dạng bằng trường hợp cạnh-góc-cạnh.
Ví dụ 1:
Tam giác ABC và tam giác A'B'C' đồng dạng, vì:
Ta có tỷ lệ giữa cạnh AB và A'B' là:
Tỷ lệ giữa cạnh BC và B'C' là:
Suy ra:
Lại có:
Vậy ta được hai tam giác trên đồng dạng:
Ví dụ 2:
Tam giác ABC và tam giác DFE đồng dạng, vì:
Ta có tỷ lệ giữa cạnh AB và A'B' là:
Tỷ lệ giữa cạnh BC và B'C' là:
Suy ra:
Lại có:
Vậy ta được hai tam giác trên đồng dạng:
Ví dụ 3:
Tam giác và tam giác đồng dạng, vì:
Ta có tỷ lệ giữa cạnh AB và A'B' là:
Tỷ lệ giữa cạnh BC và B'C' là:
Suy ra:
Lại có:
Vậy ta được hai tam giác trên đồng dạng:
1.3. Trường hợp đồng dạng thứ ba: Hai cặp góc tương ứng bằng nhau (góc-góc)
Định lý: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
Xét hai tam giác ABC và A'B'C' trong hình bên, hai tam giác này đồng dạng vì:
Ta có:
Từ hai cặp góc bằng nhau trên, ta suy ra được hai tam giác này đồng dạng:
Một số ví dụ chứng minh hai tam giác đồng dạng bằng trường hợp góc-góc.
Ví dụ 1:
Ta có:
Từ hai cặp góc bằng nhau trên, ta suy ra được hai tam giác này đồng dạng:
Ví dụ 2:
Tam giác và tam giác đồng dạng, vì:
Ta có:
Từ hai cặp góc bằng nhau trên, ta suy ra được hai tam giác này đồng dạng:
Ví dụ 3:
Tam giác và tam giác đồng dạng, vì:
Từ hai cặp góc bằng nhau trên, ta suy ra được hai tam giác này đồng dạng:
2. Bài tập các trường hợp đồng dạng của tam giác
Bài 1: Chứng minh hai tam giác trong hình dưới đây là hai tam giác đồng dạng
ĐÁP ÁN
Ta có:
Lại có góc AEC và góc BED là hai góc đối đỉnh. Suy ra:
Vậy từ hai cặp góc bằng nhau trên, ta kết luận hai tam giác này đồng dạng theo trường hợp góc-góc:
Bài 2: Chứng minh hai tam giác trong hình dưới đây là hai tam giác đồng dạng
ĐÁP ÁN
Ta có tỷ lệ giữa cạnh AB và cạnh GE là:
Tỷ lệ giữa cạnh AC và cạnh GH là:
Suy ra:
Lại có:
Vậy từ các yếu tố trên, ta kết luận hai tam giác đồng dạng theo trường hợp cạnh-góc-cạnh:
Bài 3: Chứng minh hai tam giác trong hình dưới đây là hai tam giác đồng dạng
ĐÁP ÁN
Ta có tỷ lệ giữa các cặp cạnh như sau:
Suy ra:
Vậy ta kết luận hai tam giác trên đồng dạng theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh:
Bài 4: Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Tại sao? Nếu sai hãy sửa lại cho đúng
a. Hai tam giác đồng dạng là hai tam giác có các cạnh bằng nhau.
b. Hai tam giác đồng dạng là hai tam giác có hai góc bằng nhau.
c. Có bốn trường hợp đồng dạng của tam giác.
d. Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác đồng dạng.
e. Hai tam giác đồng dạng là hai tam giác bằng nhau.
f. Hai tam giác đồng dạng thì suy ra được các góc của tam giác này tương ứng bằng các góc của tam giác kia
g. Hai tam giác đồng dạng là hai tam giác có các cặp cạnh tỷ lệ
h. "Tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF" viết bằng ký hiệu như sau:
ĐÁP ÁN
a. Sai. Hai tam giác đồng dạng là hai tam giác có các cặp cạnh tỷ lệ. Ta có thể nói hai tam giác có các cạnh bằng nhau là hai tam giác đồng dạng, nhưng không thể nói hai tam giác đồng dạng thì có các cạnh bằng nhau.
b. Đúng. Theo như trường hợp đồng dạng thứ ba (góc-góc) vừa học.
c. Sai. Chỉ có ba trường hợp đồng dạng của tam giác
d. Đúng. Vì hai tam giác bằng nhau thỏa mãn điều kiện:
- Các cặp cạnh tỷ lệ (tỷ lệ bằng 1)
- Các cặp góc bằng nhau.
e. Sai. Hai tam giác đồng dạng chưa đủ điều kiện để kết luận chúng bằng nhau.
Hai tam giác đồng dạng có: các góc bằng nhau, các cặp cạnh tỷ lệ. Trong khi hai tam giác bằng nhau có: các góc bằng nhau và các cặp cạnh bằng nhau.
f. Đúng. Dựa vào khái niệm hai tam giác đồng dạng ở phần 1.
g. Đúng. Dựa vào khái niệm hai tam giác đồng dạng ở phần 1.
h. Đúng. Ký hiệu thể hiện hai tam giác đồng dạng là: ~
Bài 5:
Tìm số đo cạnh x trong hình dưới đây:
ĐÁP ÁN
Đầu tiên, ta có tỷ lệ giữa cạnh AC và cạnh GH là:
Tỷ lệ giữa cạnh BC và cạnh HF là:
Suy ra:
Lại có:
Từ các yếu tố trên, ta kết luận hai tam giác này đồng dạng:
Vì hai tam giác này đồng dạng, nên ta được:
Vậy số đo cạnh x là: 5
Vậy là chúng ta đã hiểu được thế nào là hai tam giác đồng dạng, nắm được các trường hợp đồng dạng của tam giác, cũng như học được cách áp dụng các trường hợp đồng dạng vào giải một số bài tập. Hy vọng bài viết cung cấp đủ kiến thức để các bạn học tốt các bài học tiếp theo!
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang