Cách chứng minh tam giác đồng dạng đơn giản nhưng hiệu quả

Tam giác đồng dạng và việc chứng minh tam giác đồng dạng là những nội dung vô cùng quan trọng trong chương trình môn Toán lớp 8 phần Hình học. Bài viết sau đây nhằm nhắc lại các trường hợp đồng dạng của tam giác và trình bày một số bài toán chứng minh tam giác đồng dạng. Để hiểu rõ hơn về nội dung chi tiết, chúng ta hãy cùng đi vào tìm hiểu bài viết sau đây.

1. Nhắc lại các trường hợp đồng dạng của tam giác

1.1. Các trường hợp đồng dạng của tam giác thường

• Cạnh - cạnh - cạnh (c.c.c)
• Cạnh - góc - cạnh (c.g.c)
• Góc - góc (g.g)

1.2. Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

• Cạnh huyền - cạnh góc vuông
• Hai cạnh góc vuông
• Một góc nhọn của tam giác vuông này bằng một góc nhọn của tam giác vuông kia

2. Cách chứng minh tam giác đồng dạng

2.1. Chứng minh tam giác đồng dạng một cách trực tiếp

Ví dụ: Cho tam giác ABC nhọn. Từ A kẻ AH vuông góc với BC (H BC), từ H kẻ HK vuông góc với AC (K AC). Chứng minh tam giác AHC đồng dạng với tam giác HKC.

Giải

Xét tam giác AHC và tam giác HKC có: 

= 90^o

là góc chung 

Suy ra: AHC HKC (đpcm)

2.2. Chứng minh tam giác đồng dạng để suy ra một tỉ số hay một biểu thức nào đó

Ví dụ: Cho tam giác ABC nhọn. Từ A kẻ AH vuông góc với BC (H BC), từ H kẻ HK vuông góc với AC (K AC). Chứng minh: KH² = KA.KC

Giải

+ Ta có: AHC HKC (cmt)               (1)

+ Xét tam giác AHC và tam giác AKH có:

= 90^o

là góc chung

Suy ra: AHC AKH               (2)

Từ (1) và (2) suy ra: HKC AKH (vì cùng đồng dạng với tam giác AHC)

Do đó,

Vậy, KH² = KA.KC (đpcm)

2.3. Các dạng bài khác liên quan đến chứng minh tam giác đồng dạng

Ví dụ: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ lần lượt các đường cao BH, CK (H AC, K AB). Gọi I là giao điểm của BH và CK.

a. Có thể kết luận tam giác BKC và tam giác CHB là hai tam giác đồng dạng hay không? Tìm tỉ số đồng dạng nếu có.

b. Chứng minh AI là đường phân giác của góc A.

Giải

+ Xét tam giác BKC và tam giác CHB có:

= 90^o

(do tam giác ABC cân tại A)

Suy ra: BKC CHB

Do đó, k = = 1

Vậy, tam giác BKC và tam giác CHB là hai tam giác đồng dạng theo tỉ số k = 1.

b. Vì tam giác BKC và tam giác CHB là hai tam giác đồng dạng theo tỉ số k = 1.

Nên BKC = CHB

Suy ra: BK = CH (cặp cạnh tương ứng)

Mà  AB = AK + BK ; AC = AH + CH ; AB = AC

Nên AK = AH

+ Xét hai tam giác vuông AKI và AHI có:

AK = AH (cmt)

AI là cạnh chung

Do đó, AKI = AHI (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

Suy ra:

Vậy, AI là đường phân giác của góc A.

3. Bài tập chứng minh tam giác đồng dạng lớp 8

Bài 1: Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau khi:

1. Có cạnh huyền bằng nhau
2. Có một cạnh góc vuông bằng nhau
3. Có một góc nhọn bằng nhau
4. A, B, C đều đúng

Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm BC. Từ M, kẻ MH vuông góc với AC (H AC). Đường thẳng qua C và vuông góc với AM, cắt AM tại Q. Lúc này, số cặp tam giác đồng dạng với nhau là:

1. Không có cặp nào
2. 1 cặp
3. 2 cặp 
4. 3 cặp

Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm BC. Từ M, kẻ MH vuông góc với AC (H AC). Đường thẳng qua C và vuông góc với AM, cắt AM tại Q. Biết AQ = 4 cm; QC = 3 cm. Hãy cho biết trong các kết luận dưới đây, kết luận đúng là:

Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD. Đường thẳng a cắt AB, CD lần lượt tại I, K. Đường thẳng b cắt AB, CD lần lượt tại J, L. Biết đường thẳng a cắt đường thẳng b tại M. Biết IJ = x (cm) và LK = y (cm). Trong các phát biểu sau, phát biểu sai là:

1. Trong hình vẽ nêu trên, chúng ta có thể tìm được một cặp tam giác đồng dạng theo trường hợp góc - góc

Bài 5: Trong tam giác vuông, trường hợp đồng dạng theo hai cạnh góc vuông ứng với trường hợp đồng dạng nào trong tam giác thường?

1. Cạnh - cạnh - cạnh
2. Cạnh - góc - cạnh
3. Góc - góc
4. Không thể kết luận

Bài 6: Tam giác thứ nhất đồng dạng với tam giác thứ hai theo tỉ số đồng dạng k₁ = 2, tam giác thứ hai đồng dạng với tam giác thứ ba theo tỉ số đồng dạng k₂ = 4. Khi đó:

1. Tam giác thứ nhất đồng dạng với tam giác thứ ba theo tỉ số đồng dạng k = 8
2. Tam giác thứ nhất đồng dạng với tam giác thứ ba theo tỉ số đồng dạng k = 2
3. Tam giác thứ nhất đồng dạng với tam giác thứ ba theo tỉ số đồng dạng k =
4. Tam giác thứ nhất đồng dạng với tam giác thứ ba theo tỉ số đồng dạng k = 4

Mong rằng thông qua bài viết, các em có thể nắm vững các trường hợp đồng dạng của tam giác cũng như có thể vận dụng vào các bài toán chứng minh tam giác đồng dạng.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang