Table of Contents
Ở bài học trước, chúng ta đã tìm hiểu và luyện tập các bài toán về đường trung bình của tam giác. Vậy định nghĩa đường trung bình của hình thang là gì? Đường trung bình của hình thang được tính theo công thức nào? Vấn đề này sẽ được làm rõ trong bài viết dưới đây nhé.
1. Đường trung bình của hình thang là gì?
Định lý: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai.
Xét hình thang ABCD có:
E là trung điểm của AD
EF // AB // CD (F ∈ BC)
⇒ F là trung điểm của BC (định lý về đường trung bình của hình thang)
2. Định nghĩa, tính chất và cách tính đường trung bình của hình thang
∗ Định nghĩa đường trung bình của hình thang: Là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.
∗ Tính chất: Đường trung bình của hình thang song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.
∗ Cách tính đường trung bình của hình thang:
Xét hình thang ABCD có:
E là trung điểm của AD (gt)
F là trung điểm của BC (gt)
⇒ EF là đường trung bình của hình thang ABCD (định nghĩa)
⇒ EF // AB // CD và EF =
Từ cách tính độ dài đường trung bình của hình thang này, các bạn có thể phối hợp cùng với các công thức tính diện tích hình thang, chu vi của hình thang để giải các bài tập liên quan đến hình thang.
3. Các dạng bài tập về đường trung bình của hình thang lớp 8
3.1. Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng
∗ Phương pháp giải:
Vận dụng tính chất đường trung bình của hình thang.
Ví dụ: Cho hình thang ABCD (AB // CD), biết AB = 6 cm; CD = 14 cm. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Tính độ dài MN.
Lời giải:
Xét hình thang ABCD có:
M là trung điểm của AD (gt)
N là trung điểm của BC (gt)
⇒ MN là đường trung bình của hình thang ABCD (định nghĩa)
⇒ MN =
⇒ MN =
Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho hình thang MNPQ có MN // PQ, biết MN = 7 cm; PQ = 15 cm. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của MQ, NP. Tính độ dài EF.
A. 10 cm
B. 11 cm
C. 12 cm
D. 13 cm
ĐÁP ÁN
Xét hình thang MNPQ có:
E là trung điểm của MQ (gt)
F là trung điểm của NP (gt)
⇒ EF là đường trung bình của hình thang MNPQ (định nghĩa)
⇒ EF =
⇒ EF =
Đáp án B.
Bài 2: Cho hình vẽ bên dưới. Hình thang ABCD có AB // GI // HJ // CD . Biết AB = 9cm, HJ = 21 cm. Tính độ dài của CD.
A. 25 cm
B. 27 cm
C. 30 cm
D. 32 cm
ĐÁP ÁN
Vì AB // HJ (gt) ⇒ ABJH là hình thang.
Xét hình thang ABJH có:
G là trung điểm của AH (gt)
I là trung điểm của BJ (gt)
⇒ GI là đường trung bình của hình thang ABJH (định nghĩa)
⇒ GI =
⇒ GI =
Vì GI // CD ⇒ GICD là hình thang.
Xét hình thang GICD có:
H là trung điểm của GD (gt)
J là trung điểm của IC (gt)
⇒ HJ là đường trung bình của hình thang GICD (định nghĩa)
⇒ HJ =
⇒ 21 =
⇒15 + CD = 42 ⇒ CD = 42 – 15 = 27 (cm)
Đáp án B.
3.2. Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song
∗ Phương pháp giải:
Vận dụng kết hợp giữa tính chất đường trung bình của tam giác và hình thang.
Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho ΔABC. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AC, AB; H, K lần lượt là trung điểm của EC và FB. Chứng minh rằng EF // HK.
ĐÁP ÁN
Xét ΔABC có:
E là trung điểm của AC (gt)
F là trung điểm của AB (gt)
⇒ EF là đường trung bình của ΔABC (định nghĩa)
⇒ EF // BC (tính chất) ⇒ EFBC là hình thang
Xét hình thang EFBC có:
H là trung điểm của EC (gt)
K là trung điểm của FB (gt)
⇒ HK là đường trung bình của hình thang EFBC (định nghĩa)
⇒ HK // EF (tính chất)
Vậy EF // HK (đpcm).
Bài 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Các đường phân giác ngoài của
ĐÁP ÁN
Gọi E là giao điểm của đường phân giác góc ngoài đỉnh A với DC, F là giao điểm của đường phân giác góc ngoài đỉnh B với DC.
Vì AB // CD (gt) hay AB // EF ⇒
Mà
⇒
⇒ ΔADE cân tại D, ΔBCF cân tại C.
Xét ΔADE cân tại D có DX là đường phân giác ⇒ DX là đường trung tuyến của ΔADE ⇒ X là trung điểm của AE;
Xét ΔBCF cân tại C có CY là đường phân giác ⇒ CY là đường trung tuyến của ΔBCF ⇒ Y là trung điểm của BF.
Xét hình thang ABFE có:
X là trung điểm của AE (cmt)
Y là trung điểm của BF (cmt)
⇒ XY là đường trung bình của hình thang ABFE (định nghĩa)
⇒ XY // AB // EF (tính chất)
Vậy XY // AB (đpcm).
3.3. Dạng 3: Chứng minh các điểm thẳng hàng
∗ Phương pháp giải:
Vận dụng tính chất đường trung bình của tam giác, hình thang kết hợp với tiên đề Ơ cơ lít: Qua một điểm nằm ngoài đường thẳng, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi H, I, K lần lượt là trung điểm của AD, AC, BC. Chứng minh rằng H, I, K thẳng hàng.
ĐÁP ÁN
Xét hình thang ABCD có:
H là trung điểm của AD (gt)
K là trung điểm của BC (gt)
⇒ HK là đường trung bình của hình thang ABCD (định nghĩa)
⇒ HK // CD (tính chất) (1)
Xét ΔADC có:
H là trung điểm của AD (gt)
I là trung điểm của AC (gt)
⇒ HI là đường trung bình của ΔADC (định nghĩa)
⇒ HI // CD (tính chất) (2)
Từ (1) và (2) ⇒ HI và HK trùng nhau (tiên đề Ơclit)
Do đó H, I, K thẳng hàng.
Bài 2: Cho hình thang EFGH (EF // GH). Gọi A, B, C, D lần lượt là trung điểm của EH, EG, FH, FG. Chứng minh rằng A, B, C, D thẳng hàng.
ĐÁP ÁN
Xét hình thang EFGH có:
A là trung điểm của EH (gt)
D là trung điểm của FG (gt)
⇒ AD là đường trung bình của hình thang EFGH (định nghĩa)
⇒ AD // EF // HG (tính chất) (1)
Xét ΔEHG có:
A là trung điểm của EH (gt)
B là trung điểm của EG (gt)
⇒ AB là đường trung bình của ΔEHG (định nghĩa)
⇒ AB // HG (tính chất) (2)
Xét ΔFHG có:
C là trung điểm của FH (gt)
D là trung điểm của FG (gt)
⇒ CD là đường trung bình của ΔFHG (định nghĩa)
⇒ CD // HG (tính chất) (2)
Từ (1), (2) và (3) ⇒ AD, AB và CD trùng nhau (tiên đề Ơclit)
Do đó A, B, C, D thẳng hàng (đpcm).
Với phần lí thuyết và các dạng bài tập minh hoạ trong tài liệu này sẽ giúp các bạn học sinh nắm chắc hơn lý thuyết về đường trung bình của hình thang từ đó vận dụng thành thạo để giải các bài toán khác. Chúc các bạn học sinh ôn tập tốt!
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang