Table of Contents
Lập phương của một hiệu là một trong 7 hằng đẳng thức đáng nhớ rất quan trọng trong chương trình học. Vậy hằng đẳng thức này có gì đặc biệt và có các dạng bài tập nào liên quan? Hãy cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây.
1. Lập phương của một hiệu là gì?
Lập phương của một hiệu chính bằng lập phương số thứ nhất trừ đi ba lần tích giữa số thứ nhất bình phương và số thứ 2, cộng với 3 lần tích giữa số thứ nhất và số thứ hai bình phương, trừ đi lập phương số thứ 3. Nghĩa là:
Với M, N là một biểu thức hoặc một số bất kì, ta có:
(M – N)3 = M3 – 3M2N + 3MN2 – N3
Ví dụ: ( M – 2)2 = M3 – 3.M2.2 + 3M.22 – 23 = M3 – 6M2 + 12M – 8
*Công thức mở rộng của hằng đẳng thức lập phương của một hiệu
(M – N )3 = M3 – N3 – 3MN(M-N)
Ví dụ: (2 – N)3 = 23 – N3 – 3.2.N(2 - N) = 8 – N3 – 6N(2-N) = 8 – 12N + 6N2 – N3
2. Một số dạng bài tập phổ biến vận dụng hằng đẳng thức lập phương của một hiệu
2.1. Dạng 1: Đưa biểu thức về dạng hằng đẳng thức lập phương của một hiệu
*Phương pháp giải: Áp dụng công thức của hằng đẳng thức lập phương của một hiệu để làm được bài toán
Ví dụ: Đưa biểu thức sau về dạng lập phương của một hiệu
729 – 243n + 27n2 – n3
Hướng dẫn giải
Có: 729 – 243n + 27n2 – n3 = 93 – 3.92.n + 3.9.n2 – n3 = (9 – n)3
Bài tập luyện tập
Bài 1: Đưa biểu thức sau về dạng lập phương của một hiệu
a) 8n3 – 36n2 + 54n – 27
b) m3 – 21m2 + 147m - 343
c) 27 – 27m + 9m2 – n3
d) (m + 2 )3 – 3a(m+2)2 + 3a2(m+2) – a3
ĐÁP ÁN
a) 8n3 – 36n2 + 54n – 27
Ta có: 8n3 – 36n2 + 54n – 27 = (2n)3 - 3.(2n)2.3 + 3.2n.32 - 33 = (2n - 3)3
b) m3 – 21m2 + 147m - 343
Ta có: m3 – 21m2 + 147m - 243 = m3 - 3.m2.7 + 3.m.72 - 73 = (m - 7)3
c) 27 – 27m + 9m2 – n3
Ta có: 27 – 27m + 9m2 – n3 = 33 - 3.32.n + 3.3.n2 - n3 = (3 - n)3
d) (m + 2)3 – 3a(m+2)2 + 3a2(m+2) – a3
Ta có: (m + 2)3 – 3.(m+2)2.a + 3.(m+2).a2 – a3 = (m + 2 - a)3
2.2. Dạng 2: Khai triển hằng đẳng thức lập phương của một hiệu
*Phương pháp giải: áp dụng công thức của hằng đẳng thức đáng nhớ để làm được bài toán
Ví dụ: Khai triển hằng đẳng thức sau
(2 – 2m)3
Giải
Có: (2 – 2m)3 = 23 – 3.22.2m + 3.2.(2m)2 - (2m)3 = 8 – 24m + 24m2 - 8m3
Bài tập luyện tập
Khai triển hằng đẳng thức lập phương của một hiệu sau
a) (1 – 4m)3
b) (2m – 5)3
c) (n + 2 – a)3
d) (3n – 2a)3
ĐÁP ÁN
a) (1 – 4m)3 = 13 - 3.12.4m + 3.1.(4m)2 - (4m)3 = 1 - 12m + 48m2 - 64m3
b) (2m – 5)3 = (2m)3 - 3.(2m)2.5 + 3.2m.52 - 53 = 8m3 - 60m2 + 150m - 125
c) (n + 2 – a)3 = [(n + 2) – a]3 = (n + 2)3 - 3.(n+2)2.a + 3.(n+2).a2 - a3
d) (3n – 2a)3 = (3n)3 - 3.(3n)2.2a + 3.3n.(2a)2 - (2a)3 = 27n3 - 54n2a + 36na2 - 8a3
2.3. Dạng 3: Tính nhanh giá trị biểu thức dựa vào hằng đẳng thức lập phương của một hiệu
*Phương pháp giải: Dựa vào hằng đẳng thức đáng nhớ và giả thiết đề bài cho để giải bài toán
Ví dụ: Cho m = 2. Tính nhanh giá trị biểu thức
X = m3 – 3m2 + 3m – 1
Hướng dẫn giải
Nếu ta trực tiếp thay m = 2 vào biểu thức để tính thì sẽ gây khó khăn trong quá trình tính toán và dễ nhầm lẫn.
Ta nhận thấy biểu thức m3 – 3m2 + 3m – 1 có thể đưa về dạng hằng đẳng thức lập phương của một hiệu. Vì vậy, trước tiên ta sẽ đưa biểu thức về dạng lập phương của một hiệu rồi mới thay giá trị m = 2 vào biểu thức
Ta có: X = m3 – 3m2 + 3m – 1 = m3 – 3.m2.1 + 3m.12 – 13 = (m – 1)3
Thay m = 2 vào biểu thức X ta được
X = (2 – 1)3 = 13 = 1
Vậy X = 1 khi m = 2
Bài tập luyện tập
a) X = 2 – 9m + 27m2 – 27m3 khi m =
b) Y = 8n3 – 36n2 + 54n – 27 tại n = 1
c) Z = m3 - 3m2a + 3ma2 - a3 với a - m = 1
d) T = n3 - 9n2a + 27na2 - 27a3 với n = 3a
ĐÁP ÁN
a) X = 2 – 9m + 27m2 – 27m3 khi m =
Ta có: X = 2 – 9m + 27m2 – 27m3 = 1 - 3.12.3m + 3.1.(3m)2 - (3m)3 + 1 = (1 - 3m)3 + 1
Thay m =
X = ( 1 - 3.
Vậy X = 9 khi m =
b) Y = 8n3 – 36n2 + 54n – 27 tại n = 1
Ta có: Y = 8n3 – 36n2 + 54n – 27 = (2n)3 - 3.(2n)2 .3 + 3.2n.32 - 33 = ( 2n - 3)3
Thay n = 1 vào biểu thức Y ta được:
Y = (2.1 - 3)3 = (-1)3 = -1
Vậy Y = -1 khi n = 1
c) Z = m3 - 3m2a + 3ma2 - a3 với a - m = 1
Ta có: Z = m3 - 3m2a + 3ma2 - a3 = (m - a)3
Có a - m = 1 => m - a = -1
Thay m - a = -1 vào biểu thức Z, ta được:
Z = (-1)3 = -1
Vậy Z = -1 khi a - m = 1
d) T = n3 - 9n2a + 27na2 - 27a3 với n = 3a
Ta có: T = n3 - 9n2a + 27na2 - 27a3 = n3 - 3.n2.3a + 3.n.(3a)2 - (3a)3 = (n - 3a)3
Thay n = 3a vào biểu thức T, ta được:
T = ( 3a - 3a)3 = 0
Vậy T = 0 khi n = 3a
Vậy bài viết này đã nêu ra tất cả lý thuyết liên quan đến hằng đẳng thức lập phương của một hiệu và các dạng bài tập phổ biến liên quan đến hằng đẳng thức này. Hy vọng các bạn học sinh sẽ nắm chắc phần lý thuyết này để làm các bài tập liên quan.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang