Nhân tử chung là gì? Cách đặt nhân tử chung đơn giản

Có rất nhiều cách để phân tích đa thức thành nhân tử, đặt nhân tử chung là một trong các phương pháp giúp các em giải các dạng bài toán phân tích đa thức thành nhân tử. Vậy phương pháp đặt nhân tử chung là gì? Và khi nào chúng ta sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung? Để giải đáp các thắc mắc đó các em hãy theo dõi bài viết này nhé!

1. Khái niệm phân tích đa thức thành nhân tử

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là việc biến đổi đa thức đã cho thành một tích của nhiều đa thức khác.

Ví dụ. Viết đa thức 3x² - 6z thành tích của những đa thức ta được:

3x² - 6z =3x² - 3.2z =3(x² - 2z)

Qua ví dụ trên ta thấy hai đơn thức 3x²  và - 6z có thừa số 3 chung nên ta đặt 3 làm nhân tử chung. Ví dụ trên đã áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung để phân tích đa thức thành nhân tử. Vậy cách đặt nhân tử chung làm như thế nào? Để tìm hiểu kỹ hơn về phương pháp này, các bạn hãy theo dõi phần tiếp theo nhé!

2. Cách đặt nhân tử chung

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung được thực hiện theo các bước sau:

• Bước 1: Phân tích các đơn thức có mặt trong đa thức thành tích sao cho các tích đó xuất hiện nhân tử chung.

• Bước 2: Đặt nhân tử chung ra ngoài và nhóm các hạng tử còn lại vào trong dấu ngoặc cùng với dấu trước nó.

Ví dụ. Để phân tích đa thức m² - 4m thành nhân tử ta làm như sau:

m² - 4m = m.m - 4m = m.(m - 4)

3. Một số dạng toán sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung lớp 8

3.1. Dạng 1: Sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung để phân tích đa thức thành nhân tử

*Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung để phân tích đa thức thành nhân tử đã nêu ở mục II để giải. Tuy nhiên, có những bài toán nhìn vào chúng ta chưa thấy xuất hiện nhân tử chung mà cần phải thực hiện phép đổi dấu các hạng tử: A = - (-A).

Ví dụ 1.  Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

a) x³ - x

b) 7xy² - 28xy + 14x²y³

c) 2(m-n) - 3n(n-m)

Giải.

a) x³ - x = x.x² - x = x.(x²-1)

b) 7xy² - 28xy + 14x²y³ = 7xy.y - 7xy.4 + 7xy.2xy² = 7xy(y - 4 + 2xy²) 

c) 2(m-n) - 3n(n-m) = 2(m-n) +3n(m-n) = (m-n)(2+3n).

3.2. Dạng 2: Sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung để giải các bài toán tìm x

*Phương pháp giải:

Chúng ta sẽ chuyển tất cả các hạng tử sang vế trái, vế phải còn lại bằng 0. Sau đó phân tích vế trái thành nhân tử để đưa về dạng:

A . B  = 0 Suy ra A = 0 hoặc B = 0.

A . B .C = 0 Suy ra A = 0 hoặc B = 0 hoặc C = 0.

Ví dụ 2. Tìm x biết x³ - 4x = 0.

Giải.

x³ - 4x = 0 

x.x² - 4x = 0

x(x² - 4) = 0

x(x-2)(x+2) = 0 

Trường hợp 1: x = 0.

Trường hợp 2: x - 2= 0 suy ra x =2.

Trường hợp 3: x + 2 = 0 suy ra x = -2.

Vậy x={ -2; 0; 2}.

3.3. Dạng 3: Sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung để tính giá trị biểu thức

*Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung để thu gọn đa thức giúp cho việc tính giá trị biểu thức được dễ dàng hơn.

Ví dụ 3. Tính giá trị của biểu thức 1,44.28 + 14,4 .7,2.

Ta có:

1,44.28 + 14,4 .7,2

= 1,44 .28 + 1,44 .10.7,2

= 1,44 .28+1,44.72

=1,44.(28+72)

=1,44.100

=144

3.4. Dạng 4: Sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung để giải các dạng toán chứng minh

*Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung để biến đổi các đa thức đã cho và chứng minh theo yêu cầu đề toán. Một số công thức thường sử dụng để chứng minh trong dạng này:

- Để chứng minh biểu thức A chia hết cho một số b ta phân tích A = k.b với k ∈ Z.

- Nếu x.y= a mà x, y là các số nguyên thì x, y thuộc ước của a.

- Các công thức liên quan đến lũy thừa: a^m+n = a^m.aⁿ; a^m-n =a^m : aⁿ với a ≠0, m ≥ n.

Ví dụ 4. Chứng minh 5ⁿ + 5ⁿ⁺¹ chia hết cho 6.

Ta có 5ⁿ + 5ⁿ⁺¹ =  5ⁿ + 5ⁿ.5 = 5ⁿ .(5+1) =5ⁿ .6 chia hết cho 6.

Vậy 5ⁿ + 5ⁿ⁺¹ chia hết cho 6.

4. Bài tập đặt nhân tử chung có đáp án

Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 6x²y +4xy - 8xy²

b)

c) 4(x-z) - 5y(z-x)

Bài 2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên u ta có: u² + u chia hết cho 2.

Bài 3. Có bao nhiêu cặp giá trị (m; n) thỏa mãn đẳng thức m(n-1) + 4n = 1.

Bài viết trên đã tổng hợp kiến thức và các dạng bài tập vận dụng liên quan đến phương pháp đặt nhân tử chung - một trong các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. Hy vọng bài viết giúp các bạn học sinh có thể hiểu và vận dụng một cách dễ dàng trong các bài tập trên lớp và bài tập về nhà.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang