Picture of the author
Picture of the author
SGK Toán 8»Phép Nhân Và Phép Chia Các Đa Thức»Bật mí cách áp dụng phương pháp nhóm hạn...

Bật mí cách áp dụng phương pháp nhóm hạng tử đơn giản

(VOH Giáo Dục) - Giới thiệu và áp dụng phương pháp nhóm hạng tử để phân tích đa thức thành nhân tử. Bên cạnh đó còn giải một số bài tập liên quan đến phương pháp nhóm hạng tử.

Xem thêm

Ở những bài học trước, chúng ta đã được tìm hiểu về việc phân tích đa thức thành nhân tử, cũng như các phương pháp để thực hiện phân tích đa thức thành nhân tử. Trong bài học hôm nay chúng ta sẽ làm tìm hiểu kĩ hơn với phương pháp mới: Nhóm hạng tử.


1. Nhóm hạng tử là gì?

Nhóm hạng tử là gom những hạng tử có nhân tử chung lại với nhau để dễ dàng phân tích đa thức thành nhân tử.

Vậy các hạng tử như thế nào thì được gọi là có nhân tử chung. Cùng xem các ví dụ sau:

Ví dụ 1:

Ta thấy đa thức trên có nhân tử chung là , đặt ra ngoài, ta được:


Ví dụ 2:

Ta thấy đa thức trên có nhân tử chung là , đặt ra ngoài, ta được:


Ví dụ 3:

Ta thấy đa thức trên có nhân tử chung là , đặt ra ngoài, ta được:


Ví dụ 4:

Ta thấy đa thức trên có nhân tử chung là , nhưng thường ta không nhóm các hạng tử có nhân tử chung là lại với nhau vì làm như vậy không có tác dụng gì. Vậy nên ta giữ nguyên biểu thức.


2. Phương pháp nhóm hạng tử vào phân tích đa thức thành nhân tử

Để biết cách áp dụng phương pháp nhóm hạng tử vào phân tích đa thức thành nhân tử, chúng ta xem các ví dụ sau:

Ví dụ 5: 

Ta thấy 3 hạng tử  , , có nhân tử chung là ; trong khi đó 2 hạng tử có nhân tử chung là

Vậy ta thấy có 2 hướng nhóm hạng tử

Hướng thứ 1:


Đặt nhân tử chung là ra ngoài, ta được:


Ta thấy nếu làm theo hướng 1, sau khi nhóm hạng tử và đặt nhân tử chung ta vẫn không thể phân tích đa thức thành nhân tử. Ta chuyển sang hướng thứ 2.

Hướng thứ 2:


Đặt nhân tử chung của nhóm thứ nhất là và nhân tử chung của nhóm thứ hai là ra ngoài.


Đến đây, ta nhận thấy đa thức có nhân tử chung là . Đặt ra ngoài, ta được:


Vậy ta đã phân tích đa thức được thành nhân tử.

Nhận xét: Tùy từng trường hợp mà ta sẽ chọn hướng nhóm hạng tử cho thích hợp.

Ví dụ 6:

Ta thấy 2 hạng tử  ,  có nhân tử chung là

Ta nhóm 2 hạng tử đó lại như sau:


Đặt nhân tử chung là ra ngoài, ta được:


Đến đây, ta nhận thấy đa thức có nhân tử chung là . Đặt ra ngoài, ta được:


Vậy ta đã phân tích đa thức được thành nhân tử.

Ví dụ 7:

Ta thấy 2 hạng tử , có nhân tử chung là ; 2 hạng tử , có nhân tử chung là

Ta nhóm các hạng tử đó lại như sau:


Đặt nhân tử chung của từng nhóm ra ngoài, ta được:


Đến đây, ta nhận thấy đa thức có nhân tử chung là . Đặt ra ngoài, ta được


Vậy ta đã phân tích đa thức được thành nhân tử.

Ví dụ 8:

Ta thấy 2 hạng tử , có nhân tử chung là

Ta nhóm các hạng tử đó lại như sau:


Đặt nhân tử chung là ra ngoài, ta được:


Đến đây, ta nhận thấy đa thức có thể có nhân tử chung là nếu như ở bước trước, ta đặt thay vì  . Ta làm lại bước trên, đặt ra ngoài:


Ta nhận thấy đa thức có nhân tử chung là   . Đặt ra ngoài, ta được:


Vậy ta đã phân tích đa thức được thành nhân tử.

Ví dụ 9:

Ta thấy 2 hạng tử , có nhân tử chung là

Ta nhóm các hạng tử đó lại như sau:


Đặt nhân tử chung là ra ngoài, ta được:


Đến đây, ta nhận thấy đa thức có nhân tử chung là .Đặt ra ngoài, ta được:


Vậy ta đã phân tích đa thức được thành nhân tử.

Ví dụ 10:   

Ta thấy 2 hạng tử  , có nhân tử chung là ; 2 hạng tử , có nhân tử chung là

Ta nhóm các hạng tử đó lại như sau:


Đặt nhân tử chung là  và  của từng nhóm ra ngoài, ta được:


Đến đây, ta nhận thấy đa thức có nhân tử chung là . Đặt ra ngoài, ta được:


Vậy ta đã phân tích đa thức được thành nhân tử.

3. Bài tập phương pháp nhóm hạng tử lớp 8

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử

a.

b.

c.

d.

ĐÁP ÁN

a.

Ta thấy 2 hạng tử , có nhân tử chung là , 2 hạng tử , có nhân tử chung là

Ta nhóm các hạng tử đó lại như sau:


Đặt nhân tử chung của từng nhóm ra ngoài, ta được:



Đến đây, ta nhận thấy đa thức có nhân tử chung là . Đặt ra ngoài, ta được:


Vậy ta đã phân tích đa thức được thành nhân tử.

b.

Ta thấy 2 hạng tử , có nhân tử chung là

Ta nhóm các hạng tử đó lại như sau:


Đặt nhân tử chung là ra ngoài, ta được:


Đến đây, ta nhận thấy đa thức có nhân tử chung là . Đặt ra ngoài, ta được:


Vậy ta đã phân tích đa thức được thành nhân tử.

c.

Ta thấy 2 hạng tử , có nhân tử chung là , 2 hạng tử , có nhân tử chung là

Ta nhóm các hạng tử đó lại như sau:


Đặt nhân tử chung của từng nhóm ra ngoài, ta được:


Đến đây, ta nhận thấy đa thức có nhân tử chung là . Đặt ra ngoài, ta được:


Vậy ta đã phân tích đa thức được thành nhân tử.

d.

Ta thấy 2 hạng tử , có nhân tử chung là

Ta nhóm các hạng tử đó lại như sau:


Đặt nhân tử chung là ra ngoài, ta được:


Đến đây, ta nhận thấy đa thức có nhân tử chung là . Đặt ra ngoài, ta được:


Vậy ta đã phân tích đa thức được thành nhân tử.

Bài 2: Tìm x, biết

a.

b.

ĐÁP ÁN

a.

Đầu tiên, ta phân tích biểu thức vế trái thành nhân tử bằng cách nhóm hạng tử.

Ta thấy 2 hạng tử , có nhân tử chung là

Ta nhóm các hạng tử đó lại như sau:


Đặt nhân tử chung ra ngoài, ta được:


Đến đây, ta nhận thấy đa thức có nhân tử chung là . Đặt ra ngoài, ta được:


Vậy ta được:


hoặc

hoặc (vô nghiệm)

Vậy nghiệm của phương trình là:

b.

Đầu tiên, ta phân tích biểu thức vế trái thành nhân tử bằng cách nhóm hạng tử.

(hằng đẳng thức: hiệu hai bình phương)

Ta thấy 2 hạng tử , có nhân tử chung là

Ta nhóm các hạng tử đó lại như sau:


Đặt nhân tử chung ra ngoài, ta được:



Đến đây, ta nhận thấy đa thức có nhân tử chung là . Đặt ra ngoài, ta được:



Vậy ta được:


hoặc

hoặc

Vậy phương trình có nghiệm là: hoặc x = 0

Bài 3: Tính nhanh các biểu thức sau bằng phương pháp nhóm hạng tử

a.

b.

ĐÁP ÁN

a.

Ta thấy 2 hạng tử , có thừa số chung là   , 2 hạng tử , có thừa số chung là

Ta nhóm các hạng tử đó lại như sau:


Đặt thừa số chung của từng nhóm ra ngoài, ta được:


Tính toán như bình thường:


b.

Ta thấy 2 hạng tử , có thừa số chung là  , 2 hạng tử , có thừa số chung là

Ta nhóm các hạng tử đó lại như sau:


Đặt thừa số chung của từng nhóm ra ngoài, ta được:


Tính toán như bình thường:

 

Bài 4: Tính giá trị biểu thức sau: biết ,

ĐÁP ÁN

Ta phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử:


Thay ,  vào, ta được:

 

Bài 5: Tính giá trị biểu thức sau: , biết ,

ĐÁP ÁN

Ta phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử:


Thay , vào, ta được:

 

Vậy là chúng ta vừa tìm hiểu xong về phương pháp nhóm hạng tử. Hy vọng thông qua bài viết này, các bạn học sinh có thể áp dụng nhóm hạng tử vào phân tích đa thức thành nhân tử cũng như tính toán một số bài tập.


Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang

Tác giả: Nhật Nhi

Phương pháp tách hạng tử trong dạng toán phân tích đa thức
Phương pháp thêm bớt hạng tử để phân tích đa thức thành nhân tử