Picture of the author
Picture of the author
SGK KNTT Toán 10»Mệnh đề và tập hợp»Bài 1: Mệnh Đề

Bài 1: Mệnh Đề

Lý thuyết bài mệnh đề môn toán 10 bộ sách giáo khoa Kết nối tri thức. Nay chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu lý thuyết và bài tập minh họa một cách đầy đủ, dễ hiểu.

Xem thêm

1. Mệnh đề, mệnh đề chứa biến

a. Mệnh đề

HĐ1: Trong các câu ở tình huống mở đầu :

a) Câu nào đúng?

b) Câu nào sai?

c) Câu nào không xác định được tính đúng sai?

Giải

a) Câu nói của Khoa đúng.

b) Câu nói của An sai.

c) Câu ‘’Có bao nhiêu con vật xuất hiện trong hình vẽ ?’’ không xác định tính đúng sai.

Những câu nói của An và Khoa là những khẳng định có tính đúng hoặc sai. Người ta gọi mỗi câu như vậy là một mệnh đề lôgic (gọi tắt là mệnh đề). Những câu không xác định được tính đúng sai không phải là mệnh đề.

Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai.

Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai

Chú ý : Người ta thường sử dụng các chữ cái ,…để biểu thị các mệnh đề.

Ví dụ  1.

Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề? Câu nào không phải là mệnh đề?

a) Phương trình   có nghiệm nguyên;

b) ;

c) Có bao nhiêu dấu hiệu nhận biết hai tam giác đồng dạng ?

d) Đấy là cách xử lí khôn ngoan!

Giải 

Vì phương trình  có nghiệm nguyên nên câu a đúng. Câu b là sai.

Do đó câu a và câu b là những mệnh đề.

Câu c là câu hỏi; câu d là câu cảm thán, nêu lên ý kiến của người nói. Do đó, không xác định được tính đúng sai. Vậy các câu c và d không phải là mệnh đề.

Chú ý :Những mệnh đề liên quan đến toán học (các mệnh đề ở câu a và câu b trong Ví dụ 1) được gọi là mệnh đề toán học.

Luyện tập 1.   Thay dấu ‘’?’’ bằng dấu ‘’x’’ vào ô thích hợp trong bảng sau :

Câu

Không phải mệnh đề

Mệnh đề đúng

Mệnh đề sai

13 là số nguyên tố.

?

?

?

Tổng độ dài hai cạnh bất kì của một tam giác nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại

 

?

 

?

 

?

Bạn đã làm bài tập chưa?

?

?

?

Thời tiết hôm nay thật đẹp!

?

?

?


Câu

Không phải mệnh đề

Mệnh đề đúng

Mệnh đề sai

13 là số nguyên tố.

 

x

 

Tổng độ dài hai cạnh bất kì của một tam giác nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại

 

 

 

 

 

x

Bạn đã làm bài tập chưa?

x

 

 

Thời tiết hôm nay thật đẹp!

x

 

 

b. Mệnh đề chứa biến

Xét câu “ chia hết cho ” (với  là số tự nhiên).

Ta chưa khẳng định được tính đúng sai của câu này, do đó nó chưa phải là một mệnh đề.

Tuy nhiên, nếu thay  bằng số tự nhiên cụ thể thì câu này cho ta một mệnh đề. Chẳng hạn:

●    Với  ta được mệnh đề “5 chia hết cho 2”. Đây là mệnh đề sai.

●    Với  ta được mệnh đề “10 chia hết cho 2”. Đây là mệnh đề đúng.

Ta nói rằng câu “ chia hết cho ” là một mệnh đề chứa biến.

Câu hỏi:  Xét câu “ ”. Hãy tìm hai giá trị thực của  để từ câu đã cho ta nhận được một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai.

Giải

Khi  thì  là một mệnh đề đúng.

Khi   thì  là một mệnh đề sai.

2. Mệnh đề phủ định

HĐ2: Quan sát biển báo trong hình bên.

bai-1-menh-de-02

Khoa nói: “Đây là biển báo đường dành cho người đi bộ”.

An không đồng ý với ý kiến của Khoa.

Hãy phát biểu ý kiến của An dưới dạng một mệnh đề.

Giải  

Phát biểu ý kiến của An : “Đây không phải là biển báo đường dành cho người đi bộ”.

Để phủ định một mệnh đề P, người ta thường thêm (hoặc bớt) từ “không” hoặc “không phải” vào trước vị ngữ của mệnh đề P. Ta kí hiệu mệnh đề phủ định của mệnh đề P là .

Mệnh đề P  và  mệnh đề  là hai phát biểu trái ngược nhau. Nếu P đúng thì  sai, còn nếu P sai thì  đúng.

Ví dụ  2.     Phát biểu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau:

P: “17 là số chính phương” ;

Q: “Hình hộp không phải là hình lăng trụ”.

Giải

Mệnh đề phủ định của P  là : “17 không phải là số chính phương”.

Mệnh đề phủ định của Q  là : “Hình hộp là hình lăng trụ”.

Luyện tập 2. Phát biểu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xác định tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó.

 P: “2022 chia hết cho 5” ;

 Q: “Bất phương trình  có nghiệm”.

Giải

Mệnh đề phủ định của P là : “2022 không chia hết cho 5”. Mệnh đề   là một mệnh đề đúng. vì  dư 2.

Mệnh đề phủ định của Q  là : “ Bất phương trình  vô nghiệm ”. Mệnh đề  là một mệnh đề sai vì với  nên  là một nghiệm của bất phương trình  

Vận dụng. Cho mệnh đề Q: “Châu Á là châu lục có diện tích lớn nhất trên thế giới”. Phát biểu mệnh đề phủ định  và xác định tính đúng sai của hai mệnh đề Q và  .

Giải

Mệnh đề phủ định   : “Châu Á không phải là châu lục có diện tích lớn nhất trên thế giới’’

Mệnh đề   đúng còn mệnh đề  là mệnh đề sai.

3. Mệnh đề kéo theo, mệnh đề đảo

a. Mệnh đề kéo theo

Mệnh đề ‘’Nếu  thì ’’ được gọi là một mệnh đề kéo theo và kí hiệu  

Ví dụ 3.  Cho tứ giác , xét hai câu sau:

: “ Tứ giác  có tổng số đo hai góc đối diện bằng  ”;

: “  là tứ giác nội tiếp đường tròn ”.

Phát biểu mệnh đề   và cho biết tính đúng sai của mệnh đề đó.

bai-1-menh-de-03

Giải

: “ Nếu tứ giác   có tổng số đo hai góc đối diện bằng  thì  là tứ giác nội tiếp đường tròn ”.  

Mệnh đề kéo theo này là mệnh đề đúng.

Các định lí toán học là những mệnh đề đúng và thường có dạng . Khi đó ta nói:

 là giả thiết của định lí,  là kết luận của định lí, hoặc “  là điều kiện đủ để có  ” hoặc “  điều kiện cần để có ”.

b. Mệnh đề đảo

Mệnh đề    được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề  

Nhận xét. Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là mệnh đề đúng.

Ví dụ 4. Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề : “Nếu tam giác  là tam giác đều thì tam giác  là tam giác cân” và xác định tính đúng sai của mệnh đề đảo này.

Giải

Mệnh đề đảo là : “ Nếu tam giác   là tam giác cân thì tam giác  là tam giác đều”.

Mệnh đề đảo này là sai.

Luyện tập 3.   Cho các mệnh đề     : “ chia hết cho ” ;

   : “  chia hết cho ” 

a) Hãy phát biểu định lí . Nêu giả thiết, kết luận của định lí và phát biểu định lí này dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ.

b) Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề  xác định tính đúng sai của mệnh đề đảo này.

Giải

a) Phát biểu định lí  là  Nếu chia hết cho thì chia hết cho .

Trong đó giả thiết là chia hết cho ,  kết luận là chia hết cho .

Phát biểu định lý dưới dạng điều kiện cần :   chia hết cho  là điều kiện cần để chia hết cho .

Phát biểu định lý dưới dạng điều kiện đủ :  chia hết cho  là điều kiện đủ để chia hết cho

b) Mệnh đề đảo của mệnh đề  là ‘’nếu  chia hết cho thì và   chia hết cho ’’.

Mệnh đề đảo của mệnh đề  là mệnh đề sai vì  khi đó  chia hết cho nhưng  không chia hết cho .

4. Mệnh đề tương đương

HĐ6: Hãy xác định tính đúng sai của mệnh đề sau :

“Một số tự nhiên chia hết cho 5 nếu số đó có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc 5 và ngược lại”.

Giải

“Một số tự nhiên chia hết cho 5 nếu số đó có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc 5’’ là mệnh đề đúng.

“Số tự nhiên có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc 5 số đó sẽ chia hết cho 5’’ là mệnh đề đúng.

Mệnh đề ở HĐ6 có thể phát biểu dưới dạng : “Một số tự nhiên chia hết cho 5 nếu và chỉ nếu số đó có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc 5 ”.

Mệnh đề “    nếu và chỉ nếu ”  được gọi là một mệnh đề tương đương và kí hiệu là .

Nhận xét. Nếu cả hai mệnh đề  và đều đúng thì mệnh đề tương đương  đúng. Khi đó ta nói “  tương đương với ” hoặc “ điều kiện cần và đủ để có ” hoặc “ khi và chỉ khi  ”.

Ví dụ 5.   Cho hai mệnh đề

P : “Tứ giác  là hình vuông”;

 : “ Tứ giác  là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau” .

Hãy phát biểu mệnh đề tương đương  và xác định tính đúng sai của mệnh đề tương đương này.

Giải

Mệnh đề tương đương : “Tứ giác  là hình vuông khi và chỉ khi tứ giác là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau”. Mệnh đề tương đương này đúng vì cả hai mệnh đề  đều đúng.

Luyện tập 4. Phát biểu điều kiện cần và đủ để số tự nhiên  chia hết cho .

Giải

Số tự nhiên  chia hết cho   khi và chỉ khi số đó có chữ số tận cùng là số chẵn.

5. Mệnh đề có chứa ký hiệu ∀, ∃

●    Câu “Mọi số thực đều có bình phương không âm” là một mệnh đề. Có thể viết mệnh đề này như sau:


●    Câu “Có một số hữu tỉ mà bình phương của nó bằng 2” là một mệnh đề. Có thể viết mệnh đề này như sau:


Câu hỏi:  Em hãy xác định tính đúng, sai của hai mệnh đề trên.

Giải

Câu “Mọi số thực đều có bình phương không âm” là một mệnh đề đúng.

Câu “Có một số hữu tỉ mà bình phương của nó bằng 2” là một mệnh đề sai.

Luyện tập 5.

Phát biểu bằng lời mệnh đề sau và cho biết mệnh đề đó đúng hay sai.


Giải

Mệnh đề có thể phát biểu là: “Mọi số thực đều có bình phương cộng với 1 nhỏ hơn hoặc bằng 0”.

Mệnh đề sai do   nên   

Dưới đây ta xét mệnh đề phủ định của mệnh đề  có chứa kí hiệu .

Mệnh đề “ Có một số tự nhiên nhân với 1 không bằng chính nó” là phủ định của mệnh đề “Mọi số tự nhiên nhân với 1 đều bằng chính nó”.

Như vậy mệnh đề phủ định của mệnh đề  là mệnh đề   .

Ví dụ 6.

Viết mệnh đề phủ định của mệnh đề sau và xác định tính đúng, sai của nó.


Giải

Mệnh đề P có thể phát biểu là: “Tồn tại một số thực mà bình phương của nó cộng với 1 bằng 0”. Phủ định của mệnh đề P là: “Không tồn tại một số thực mà bình phương của nó cộng với 1 bằng 0”, tức là “Mọi số thực đều có bình phương cộng với 1 khác 0”.

Ta có thể viết mệnh đề phủ định của  là . Mệnh đề phủ định này đúng.

Luyện tập 6.

Trong tiết học môn Toán, Nam phát biểu: “Mọi số thực đều có bình phương khác 1”.

Mai phát biểu: “Có một số thực mà bình phương của nó bằng 1”.

a) Hãy cho biết bạn nào phát biểu đúng.

b) Dùng kí hiệu  để viết lại các phát biểu của Nam và Mai dưới dạng mệnh đề.

Giải

a) Bạn Nam phát biểu đúng do tồn tại số thực  để .

b) Phát biểu của Nam dưới dạng mệnh đề: .

Phát biểu của Mai dưới dạng mệnh đề (đây là mệnh đề phủ định của P):  .


Biên soạn: GV. Lưu Thị Liên - Trường THPT Ninh Giang

Tác giả: GV. Lưu Thị Liên

Bài 2: Tập Hợp Và Các Phép Toán Trên Tập Hợp