Bài 2: Tập Hợp Và Các Phép Toán Trên Tập Hợp

1. Khái niệm cơ bản về tập hợp

1.1. Tập hợp

Có thể mô tả một tập hợp bằng một trong hai cách sau

Cách 1. Liệt kê các phần tử của tập hợp;

Cách 2. Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp

; phần tử  thuộc tập hợp  

; phần tử   không thuộc tập hợp .

Ví dụ 1.

Cho   { là số nguyên tố , }.

a) Dùng kí hiệu  để viết câu trả lời cho câu hỏi sau:

Trong các số  , số nào thuộc tập  , số nào không thuộc tập  ? 

b) Viết tập hợp  bằng cách liệt kê các phần tử. Tập hợp có bao nhiêu phần tử?

Giải

a) .

b) . Tập hợp   có   phần tử.

Chú ý.  Số phần tử của tập hợp  được kí hiệu là . Chẳng hạn, tập hợp  trong HĐ1-SGK trang 12  có số phần tử là , ta viết .

Tập hợp không chứa phần tử nào được gọi là tập rỗng, kí hiệu là  .

Chẳng hạn:

- Tập các nghiệm của phương trình   là tập rỗng.

- Tập hợp những người sống trên Mặt Trời là tập rỗng.

1.2. Tập hợp con

Nếu mọi phần tử của tập hợp  đều là phần tử của tập hợp   thì ta nói   là một tập hợp con (tập con) của  và ta viết là  (đọc là chứa trong  hoặc  là tập con của .

• Thay cho , ta còn viết  (đọc là   chứa ).
• Kí hiệu để chỉ  không là tập con của  .

Nhận xét

• Từ định nghĩa trên,  là tập con của  nếu mệnh đề sau đúng:

.

Người ta thường minh họa một tập hợp bằng một hình phẳng được bao quanh bởi đường kín, gọi là biểu đồ Ven (H.1.2)

• Quy ước tập rỗng là tập con của mọi tập hợp.

Minh họa T là một tập con của S như Hình 1.3

Ví dụ 2.

Cho tập hợp  . Những tập hợp nào sau đây là tập con của ?

;

  ;

Giải

Các tập hợp ,  là những tập con của  (H.1.4)

1.3. Hai tập hợp bằng nhau

Hai tập hợp   và  được gọi là hai tập hợp bằng nhau nếu mỗi phần tử của  cũng là phần tử của tập hợp   và ngược lại.

Kí hiệu  .

Ví dụ 3.

Cho hai tập hợp:

{ là bội chung của 2 và 3; };

{ là bội của 6; }.

Chứng minh  .

Giải

Ta có: ; 

Vậy  .

2. Các tập hợp số

2.1. Mối quan hệ giữa các tập hợp số

Tập hợp các số tự nhiên .

Tập hợp các số nguyên  gồm các số tự nhiên và các số nguyên âm:

.

Tập hợp các số hữu tỉ  gồm các số viết được dưới dạng phân số  , với   .

Số hữu tỉ còn được biểu diễn dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.

Tập hợp các số thực  gồm các số hữu tỉ và các số vô tỉ. Số vô tỉ là các số thập phân vô hạn không tuần hoàn.  

Ví dụ 4.

Hãy xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) ;        

b)      ;    

c) .

Giải

a)    là mệnh đề sai.

b)       là mệnh đề đúng.

c)      là mệnh đề sai.

2.2. Các tập con thường dùng của  

• Khoảng

• Đoạn

• Nửa khoảng   

Ví dụ 5.

Viết các tập hợp sau dưới dạng các khoảng, đoạn, nửa khoảng trong   rồi biểu diễn trên trục số:

 ; .

Giải

3. Các Phép Toán Trên Tập Hợp

3.1. Giao của hai tập hợp

Tập hợp gồm các phần tử thuộc cả hai tập hợp và gọi là giao của hai tập hợp   và , ký hiệu là .

  {  và  }    

Ví dụ 6.

a) Cho hai tập hợp  và  . Hãy xác định tập hợp .

b) Cho hai tập hợp  và  . Hãy xác định tập hợp .

Giải

a) Giao của hai tập hợp  và   là .

b) Giao của hai tập hợp   và   là  .             

3.2. Hợp của hai tập hợp

Tập hợp gồm các phần tử thuộc tập hợp  hoặc  gọi là hợp của hai tập hợp   và  , ký hiệu .

 {  hoặc  }   

Ví dụ 7.

Cho hai tập hợp .

Hãy xác định tập hợp  .

Giải

Hợp của hai tập hợp  và  là  .

Ví dụ 8

Trở lại tình huống mở đầu, gọi  là tập hợp các thành viên tham gia Chuyên đề 1.  là tập hợp các thành viên tham gia Chuyên đề 2.

Ta có : { Nam; Hương; Chi; Tú; Bình; Ngân; Khánh; Hân; Hiền; Lam}.

Tập  có  phần tử, tức là có  thành viên tham gia một hoặc hai chuyên đề.

Số thành viên vắng mặt trong cả hai chuyên đề là:

 (thành viên)

3.3. Hiệu của hai tập hợp

Hiệu của hai tập hợp và  là tập hợp  gồm các phần tử thuộc tập hợp  mà không thuộc tập hợp  , ký hiệu .

 {  và }   

Nếu là tập con của tập hợp  , thì   còn được gọi là  phần bù của trong . Ký hiệu là  

Ví dụ  9         

Cho các tập hợp , { | là số nguyên tố nhỏ hơn }, { | là số nguyên dương nhỏ hơn }.

a) Tìm  và .

b)  có là tập con của  không? Hãy tìm phần bù của  trong .

Giải

a) Ta có:  

Do đó :  , .

b) Ta có: . Vậy  là tập con của .

Vậy phần bù của  trong   là .

Vận dụng

Lớp   có tham gia thi đấu bóng đá và cầu lông, trong đó có   bạn tham gia thi đấu bóng đá và   bạn tham gia thi đấu cầu lông. Giả sử các trận bóng đá và các

trận cầu lông không tổ chức đồng thời. Hỏi có bao nhiêu bạn lớp   tham gia thi đấu cả bóng đá và cả cầu lông?

Gợi ý : Gọi  là số bạn tham gia thi đấu cả bóng đá và cả cầu lông.

Trả lời :

Ta có  

4. Bài tập luyện tập tập hợp và các phép toán trên tập hợp của trường Ninh Giang

1.1. Cho hai tập hợp  ,  được mô tả bởi biểu đồ Ven như sau:

a) Hãy chỉ ra các phần tử của tập hợp , tập hợp  .

b) Tính  

c) Hãy chỉ ra các phần tử thuộc tập hợp  mà không thuộc tập hợp .

d) Hãy chỉ ra các phần tử thuộc tập hợp  mà không thuộc tập hợp .

1.2. Xác định các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.

; ;

 là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng  .

1.3. Trong các tập hợp sau, tập nào là tập rỗng?

; .

1.4. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? Mệnh đề nào sai? Giải thích kết luận đưa ra.

a) Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp;

b) Nếu  thì ;

c) Nếu  thì  .

1.5. Xác định các tập hợp sau.

a) ;   

b) ;

c) ;    

d) .

1.6. Trong một cuộc phỏng vấn 56 người về những việc họ thường làm vào ngày nghỉ cuối tuần, có 24 người thích tập thể thao, 15 người thích đi câu cá và 20 người không

thích cả hai hoạt động trên.

a) Có bao nhiêu người thích chơi thể thao hoặc thích câu cá?

b) Có bao nhiêu người thích cả câu cá và chơi thể thao?

c) Có bao nhiêu người chỉ thích câu cá, không thích chơi thể thao?

1.7. Xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a)     

b)

c)     

d)  

1.8. Cho  là tập hợp các số nguyên dương nhỏ hơn  là bội của  và  là tập hợp các nghiệm của phương trình  

a) Hãy liệt kê các phần tử của hai tập hợp   và .

b) Tìm  

c) Biểu diễn hai tập   và   bằng biểu đồ Ven.

1.9. Cho hai tập hợp  ,  được mô tả bởi biểu đồ Ven như sau:

a) Hãy chỉ ra các phần tử của tập hợp .

b) Tính  

c) Hãy chỉ ra các phần tử thuộc thuộc tập hợp  nhưng không thuộc tập hợp .

1.10. Biểu diễn các tập hợp sau trên trục số.

a)    

b)  ;

c) ;    

d)

Biên soạn: GV. Lưu Thị Liên - Trường THPT Ninh Giang