Table of Contents
I. Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Vectơ
Chú ý: Một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương và các vectơ này cùng phương với nhau. Do đó, nếu
2. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Vectơ
Chú ý: Một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến và các vectơ này cùng phương với nhau. Do đó, nếu
3. Mối liên hệ tọa độ giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của một đường thẳng
Cho đường thẳng Δ có
Do đó, nếu
( hoặc chọn
Ví dụ 1: Đường thẳng Δ có
Ví dụ 2: Đường thẳng Δ có
II. Các dạng của phương trình đường thẳng
1. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng:
Trong đó,
Đường thẳng Δ đi qua
Khi đó, phương trình tổng quát của Δ là:
Ví dụ: Đường thẳng Δ đi qua
Δ:
2. Phương trình tham số của đường thẳng
Đường thẳng Δ đi qua
Khi đó, phương trình tham số của Δ có dạng:
Ví dụ: Đường thẳng Δ đi qua
3. Phương trình chính tắc của đường thẳng
Đường thẳng Δ đi qua
Khi đó phương trình chính tắc của Δ có dạng:
Ví dụ: Đường thẳng Δ đi qua
4. Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn
Đường thẳng Δ cắt trục
Ví dụ: Đường thẳng Δ cắt trục
5. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc k
Đường thẳng Δ đi qua
Ví dụ: Đường thẳng Δ đi qua
Chú ý
- Nếu đường thẳng Δ có phương trình tổng quát
và thì ta đưa được phương trình tổng quát về dạng: với . Khi đó, k là hệ số góc của đường thẳng Δ. - Nếu đường thẳng Δ có véctơ chỉ phương
thì Δ có hệ số góc . Ngược lại nếu Δ có hệ số góc là thì Δ có một vectơ chỉ phương: .
Nếu phần phía trên trục hoành của đường thẳng Δ hợp với chiều dương trục
Đường thẳng
Đường thẳng
III. Các vấn đề liên quan đến đường thẳng
1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng
Tọa độ giao điểm của
a. Hệ
b. Hệ
c. Hệ
Ví dụ: Cho đường thẳng
- Xét vị trí tương đối của
và
Ta có hệ phương trình
Do đó
- Xét vị trí tương đối của
và
Ta có hệ phương trình
Do đó
- Xét vị trí tương đối của
và
Ta có hệ phương trình
Do đó
2. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng
Đặt
Chú ý:
Ví dụ: Cho hai đường thẳng
Ta có
Khi đó
3. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng
Cho đường thẳng
Khoảng cách từ điểm
và được tính bởi công thức
Ví dụ: Cho đường thẳng
Khi đó khoảng cách từ điểm
Bài tập luyện tập phương trình đường thẳng của Nguyễn Khuyến
Bài 1. Trong các điểm có tọa độ sau đây, điểm nào nằm trên đường thẳng
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
Với
Bài 2. Đường thẳng
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
Ta có
PTTS
Bài 3. Cho đường thẳng
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
Đường thẳng
Một vectơ chỉ phương của
hay
Bài 4. Đường thẳng
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
Ta có
Chọn
Bài 5. Phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
Ta có
Khi đó phương trình đường thẳng
Phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại
Bài 6. Phương trình đường thẳng đi qua
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
Phương trình đường thẳng cần tìm là
Bài 7. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
Đường thẳng
Đường thẳng
Ta có
Chọn
Bài 8. Tìm góc giữa
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Đường thẳng
Nên ta chọn một vectơ pháp tuyến của
Ta có
Bài 9. Cho đoạn thẳng
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
Đường thẳng
Bài 10. Tam giác
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
Đường thẳng
Do
Các điểm còn lại không thuộc đường thẳng
Bài 11. Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
Nhận xét điểm
Độ dài hai cạnh kề của hình chữ nhật bằng khoảng cách từ
Bài 12. Tìm tọa độ điểm
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
Phương trình đường thẳng
Tọa độ giao điểm
Suy ra
Do
Bài 13. Tính khoảng cách từ điểm
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
Bài 14. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
Ta có
Bài 15. Tìm tất cả các giá trị của tham số
A.
B.
C.
D. Không tồn tại
ĐÁP ÁN
Ta có
Vậy
Bài 16. Cho ba đường thẳng có phương trình
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
Khoảng cách từ
Vậy có hai điểm thỏa mãn là
Bài 17. Cho đường thẳng
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
Đường thẳng
hay
Theo bài ra
+ Nếu
+ Nếu
Bài 18. Cho đường thẳng
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
Ta có
Khi đó, điểm cố định trên đường thẳng
Gọi
Ta có
Bài 19. Tìm tất cả các giá trị
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
Vectơ pháp tuyến của
Ta có
Bài 20. Cho đường tròn
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
Vì
Vì
Vậy
Biên soạn: Nguyễn Ngọc Toàn ( Trường TH - THCS - THPT Lê Thánh Tông)