Picture of the author
Picture of the author
SGK Toán 10»Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng»Bài 1: Phương Trình Đường Thẳng

Bài 1: Phương Trình Đường Thẳng

Lý thuyết Phương Trình Đường Thẳng Toán 10 bộ sách giáo khoa. Nay chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu lý thuyết và bài tập minh họa một cách đầy đủ, dễ hiểu.

Xem thêm

I. Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ  được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ nếu và giá của nó song song hoặc trùng với Δ.bai-1-phuong-trinh-duong-thang-1

Chú ý:  Một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương và các vectơ này cùng phương với nhau. Do đó, nếu  là một vectơ chỉ phương của Δ  thì    (k ≠ 0) cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ .

2. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ  được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng Δ nếu  và giá của nó vuông góc với Δbai-1-phuong-trinh-duong-thang-2

Chú ý: Một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến và các vectơ này cùng phương với nhau. Do đó, nếu  là một vectơ pháp tuyến của Δ  thì  (k ≠ 0) cũng là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng Δ.

3. Mối liên hệ tọa độ giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của một đường thẳng

Cho đường thẳng Δ có là một vectơ pháp tuyến và  là một vectơ chỉ phương. Khi đó, ta có  hay .

Do đó, nếu  là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng Δ thì ta có thể chọn

( hoặc chọn ) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ. Tương tự, ta cũng có điều ngược lại.

Ví dụ 1:  Đường thẳng Δ có là một vectơ pháp tuyến. Khi đó, là một vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ.

Ví dụ 2: Đường thẳng Δ có là một vectơ chỉ phương. Khi đó, là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng Δ.

II. Các dạng của phương trình đường thẳng

1. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng: .

Trong đó,  là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng.

Đường thẳng Δ đi qua  và nhận là một vectơ pháp tuyến.

Khi đó, phương trình tổng quát của Δ là:

Ví dụ: Đường thẳng Δ đi qua  và nhận là một vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là:  

Δ:  .

2. Phương trình tham số của đường thẳng

Đường thẳng Δ đi qua  và nhận là một vectơ chỉ phương.

Khi đó, phương trình tham số của Δ có dạng: .

Ví dụ: Đường thẳng Δ đi qua  và nhận là một vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: .

3. Phương trình chính tắc của đường thẳng

Đường thẳng Δ đi qua  và nhận  là một vectơ chỉ phương.

Khi đó phương trình chính tắc của Δ có dạng: .

Ví dụ: Đường thẳng Δ đi qua  và nhận là một vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là :  

4. Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn

Đường thẳng Δ cắt trục lần lượt tại . Khi đó, đường thẳng Δ có phương trình theo đoạn chắn  là:  .bai-1-phuong-trinh-duong-thang-3

Ví dụ: Đường thẳng Δ cắt trục lần lượt tại  và . Khi đó, đường thẳng Δ có phương trình theo đoạn chắn là:

5. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc k

Đường thẳng Δ đi qua  và có hệ số góc k. Khi đó phương trình của Δ có dạng: .

Ví dụ: Đường thẳng Δ đi qua  và có hệ số góc . Khi đó, phương trình đường thẳng Δ là: . Hay Δ:  .

Chú ý

  • Nếu đường thẳng Δ có phương trình tổng quát và   thì ta đưa được phương trình tổng quát về dạng:  với . Khi đó, k là hệ số góc của đường thẳng Δ.
  • Nếu đường thẳng Δ  có véctơ chỉ phương  thì Δ có hệ số góc . Ngược lại nếu Δ có hệ số góc là  thì Δ có một vectơ chỉ phương: .

Nếu phần phía trên trục hoành của đường thẳng Δ  hợp với chiều dương trục  một góc là  thì Δ  có hệ số góc: .bai-1-phuong-trinh-duong-thang-4

Đường thẳng  có hệ số góc bằng 0.

Đường thẳng  không có hệ số góc.

III. Các vấn đề liên quan đến đường thẳng

1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng , .

Tọa độ giao điểm của  nếu có là nghiệm của hệ phương trình

a.    Hệ  có nghiệm duy nhất , khi đó  cắt  tại điểm .

b.    Hệ   vô số nghiệm, khi đó  trùng .

c.    Hệ   vô nghiệm, khi đó  và  không có điểm chung, hay   song song .

Ví dụ: Cho đường thẳng . Xét vị trí tương đối của đường thẳng  với các đường thẳng 

  • Xét vị trí tương đối của  và 

Ta có hệ phương trình

.

Do đó  và  cắt nhau tại điểm .

  • Xét vị trí tương đối của  và

Ta có hệ phương trình

.

Do đó  và  trùng nhau.

  • Xét vị trí tương đối của  và

Ta có hệ phương trình

  vô nghiệm.

Do đó  và  song song với nhau.

2. Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng , .

bai-1-phuong-trinh-duong-thang-5

Đặt .

 có một vectơ pháp tuyến là ,  có một vectơ pháp tuyến là .

Chú ý:  .

Ví dụ: Cho hai đường thẳng .

Ta có  có một vectơ pháp tuyến là  và  có một vectơ pháp tuyến là .

Khi đó  nên .

3. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng

Cho đường thẳng  và điểm .

Khoảng cách từ điểm   đến đường thẳng  kí hiệu là  

và được tính bởi công thức

Ví dụ: Cho đường thẳng  và điểm .

Khi đó khoảng cách từ điểm  đến đường thẳng  là .


Bài tập luyện tập phương trình đường thẳng của Nguyễn Khuyến

Bài 1. Trong các điểm có tọa độ sau đây, điểm nào nằm trên đường thẳng có phương trình tham số  
A.

B.

C.

D.

ĐÁP ÁN

Với       

Bài 2. Đường thẳng  đi qua điểm  và có vectơ chỉ phương  có phương trình tham số là: 
A.  .

B. .

C. .

D. .

ĐÁP ÁN

Ta có    

  PTTS        

Bài 3. Cho đường thẳng  có phương trình tham số . Một vectơ chỉ phương của  có tọa độ là

A.  .

B. .

C. .

D. .

ĐÁP ÁN

Đường thẳng   có phương trình tham số    .

Một vectơ chỉ phương của  có tọa độ là     

hay  cũng là vectơ chỉ phương của .

Bài 4. Đường thẳng  có một vectơ chỉ phương là . Đường thẳng   vuông góc với  có một vectơ pháp tuyến là

A.

B.

C.

D.

ĐÁP ÁN

Ta có    .

Chọn     .

Bài 5. Phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại    là

A. .

B. .

C. .

D. .

ĐÁP ÁN

Ta có    .

Khi đó phương trình đường thẳng  dạng     .

Phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại  và  là

.

Bài 6. Phương trình đường thẳng đi qua và song song với đường thẳng  là.

A. .

B. .

C. .

D. .

ĐÁP ÁN

Phương trình đường thẳng cần tìm là   .  

Bài 7. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau: ; .

A. .

B.  cắt .

C.  trùng .

D.  chéo .

ĐÁP ÁN

Đường thẳng    có  .

Đường thẳng   .

Ta có  nên  ,  cùng phương.

Chọn  mà  nên  .

Bài 8. Tìm góc giữa  đường thẳng  và .

A. .

B. .

C. .

D. .

ĐÁP ÁN

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng  là

Đường thẳng  có một vectơ chỉ phương là  

Nên ta chọn một vectơ pháp tuyến của  là

Ta có   

Bài 9. Cho đoạn thẳng  với  và đường thẳng . Tìm tất cả các giá trị của   để  và đoạn thẳng  có điểm chung.

A. .

B. .

C. .

D.  hoặc

ĐÁP ÁN

Đường thẳng và đoạn thẳng  có điểm chung

     nằm về hai phía của đường thẳng  

  

           

Bài 10. Tam giác có đỉnh . Phương trình đường cao . Tọa độ đỉnh  có thể là điểm nào trong các điểm sau?

A. .

B. .

C. .

D. .

ĐÁP ÁN

Đường thẳng  qua  vuông góc với  nên có phương trình là .

Do  nên tọa độ điểm cần tìm là .

Các điểm còn lại không thuộc đường thẳng .  

Bài 11. Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng , , đỉnh . Diện tích của hình chữ nhật là

A.  .

B.  .

C. .

D. .

ĐÁP ÁN

Nhận xét điểm  không thuộc hai đường thẳng trên.

Độ dài hai cạnh kề của hình chữ nhật bằng khoảng cách từ  đến hai đường thẳng trên, do đó diện tích hình chữ nhật bằng    .

Bài 12. Tìm tọa độ điểm  đối xứng với điểm  qua đường thẳng

A.  .

B. .

C. .

D. .

ĐÁP ÁN

Phương trình đường thẳng  đi qua  và vuông góc với  là .

Tọa độ giao điểm  của    là nghiệm của hệ .

Suy ra .

Do  là trung điểm   nên suy ra  .

Bài 13. Tính khoảng cách từ điểm  đến đường thẳng .

A. .

B. .

C. .

D. .

ĐÁP ÁN

     

Bài 14. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song  và  bằng:

A.  .

B.  .

C. .

D. .

ĐÁP ÁN

   ,

       

Ta có    .

Bài 15. Tìm tất cả các giá trị của tham số  để khoảng cách từ điểm  đến đường thẳng  bằng .

A.

B. .

C. .

D. Không tồn tại  .

ĐÁP ÁN

Ta có 

 

      

       

 Vậy    thỏa mãn bài toán.  

Bài 16. Cho ba đường thẳng có phương trình     . Tìm tất cả các điểm  nằm trên  sao cho khoảng cách từ  đến   bằng 2 lần khoảng cách từ   đến .

A. .

B. .

C.

D.

ĐÁP ÁN

   

Khoảng cách từ   đến  bằng 2 lần khoảng cách từ  đến  nên ta có

    

   

     

 Vậy có hai điểm thỏa mãn là  

Bài 17. Cho đường thẳng  và . Viết phương trình đường thẳng  đi qua  và tạo với  một góc .
A.  và   
B.  và  
C.  và   
D.  và

ĐÁP ÁN

Đường thẳng  đi qua M có dạng .

hay   

Theo bài ra   tạo với  một góc  nên:

     

    

+ Nếu , chọn  suy ra    

+ Nếu , chọn   suy ra  

Bài 18. Cho đường thẳng  với  là tham số, và điểm . Giả sử  (là phân số tối giản) để khoảng cách từ  đến đường thẳng    là lớn nhất. Khi đó, tính  

A. .

B. .

C. .

D. .

ĐÁP ÁN

Ta có          

Khi đó, điểm cố định trên đường thẳng  là nghiệm của hệ phương trình

       

    là điểm cố định trên đường thẳng .

Gọi   .

   

    lớn nhất khi  hay  là hình chiếu của  trên  .

Ta có ,  có VTCP    .

    

   

Bài 19. Tìm tất cả các giá trị   để hai đường thẳng  và  vuông góc với nhau.

A.  .

B. .

C.  .

D.  .

ĐÁP ÁN

Vectơ pháp tuyến của  và  là .

Ta có   .

   

Bài 20. Cho đường tròn  có tâm  thuộc đường thẳng , đi qua điểm   và tiếp xúc với đường thẳng . Tính  biết .

A.  .

B.  .

C.  .

D.  .

ĐÁP ÁN

 nên . Ta có  

    

     

   

Vì   nên    .

Vậy  


Biên soạn: Nguyễn Ngọc Toàn ( Trường TH - THCS - THPT Lê Thánh Tông)

Tác giả: Trường THCS - THPT Nguyễn Khuyến - Tổ Toán

Bài 2: Phương Trình Đường Tròn