Picture of the author
Picture of the author
SGK Toán 10»Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng»Bài 2: Phương Trình Đường Tròn

Bài 2: Phương Trình Đường Tròn

Lý thuyết phương trình đường tròn toán 10 bộ sách giáo khoa. Nay chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu lý thuyết và bài tập minh họa một cách đầy đủ, dễ hiểu.

Xem thêm

I. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước

bai-2-phuong-trinh-duong-tron 01

Trong mặt phẳng cho đường tròn tâm , bán kính  như hình trên

Gọi . Ta có   .

Phương trình được gọi là phương trình đường tròn tâm bán kính .

Ví dụ 1:

a) Đường tròn tâm bán kính có phương trình là: .

b) Đường tròn tâm bán kính có phương trình là: .

c) Đặc biệt: Đường tròn tâm bán kính có phương trình là: .

Ví dụ 2: Cho hai điểm . Viết phương trình đường tròn đường kính .

Giải:

Gọi là trung điểm của đoạn thẳng . Suy ra .

Độ dài đoạn thẳng   .

Đường tròn đường kính nhận làm tâm và bán kính có phương trình là:

.

II. Nhận xét

Phương trình đường tròn có thể được viết dưới dạng , trong đó .

Ngược lại, phương trình là phương trình của đường tròn khi và chỉ khi . Khi đó phương trình có tâm và bán kính .

Ví dụ 3: Phương trình là phương trình đường tròn vì . Đường tròn này có tâm và bán kính .

III. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

bai-2-phuong-trinh-duong-tron 02

Cho điểm nằm trên đường tròn tâm . Gọi là tiếp tuyến với tại .

Ta có và vectơ là vectơ pháp tuyến của .

Điểm thuộc tiếp tuyến khi và chỉ khi  .

Đây chính là phương trình đường thẳng  cần tìm.

Như vậy, phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm


Ví dụ 4: Cho đường tròn có phương trình và điểm .

Chứng minh rằng điểm thuộc đường tròn. Viết phương trình tiếp tuyến với tại điểm .

Giải:

Đường tròn (C) có tâm bán kính .

Để chứng minh điểm thuộc đường tròn ta có thể làm bằng một trong hai cách sau:

Cách 1: Ta có: suy ra điểm A thuộc đường tròn.

Cách 2: Thay tọa độ điểm vào phương trình đường tròn ta có nên điểm thuộc đường tròn.

Tiếp tuyến của tại điểm nhận làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là hay .

Ví dụ 5: Cho đường tròn . Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn biết tiếp điểm là .

Giải:

Đường tròn  có tâm và bán kính .

Tiếp tuyến của tại điểm nhận làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là   


Bài tập luyện tập phương trình đường tròn của trường Nguyễn Khuyến

1. Bài tập tự luận

Dạng 1: Nhận dạng phương trình đường tròn. Tìm tâm và bán kính đường tròn

Phương pháp giải.

Cách 1:  + Đưa phương trình về dạng:    (1).

+ Xét dấu biểu thức .

Nếu thì (1) là phương trình đường tròn có tâm và bán kính .

Nếu thì (1) không phải là phương trình đường tròn.

Cách 2:   Đưa phương trình về dạng: (2).

Nếu thì (2) là phương trình đường tròn có tâm và bán kính .

Nếu thì (2) không phải là phương trình đường tròn.

Bài 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn? Tìm tâm và bán kính nếu có.

      (1)

   (2)

  (3)

    (4)

ĐÁP ÁN

a) Phương trình (1) có dạng  

với  

Ta có .

Vậy phương trình (1) không phải là phương trình đường tròn.

b)  Phương trình (2) có dạng  

với .

Ta có: .

Suy ra phương trình (2) không phải là phương trình đường tròn.

c)  Ta có: .

Vậy phương trình (3) là phương trình đường tròn tâm bán kính .

d) Phương trình (4) không phải là phương trình đường tròn vì hệ số của  và khác nhau.

  

Bài 2. Cho phương trình   (1)

a) Tìm điều kiện của để (1) là phương trình đường tròn.

b) Nếu (1) là phương trình đường tròn hãy tìm toạ độ tâm và bán kính theo .

ĐÁP ÁN

a) Phương trình (1) là phương trình đường tròn khi và chỉ khi

Với .

Hay    

b) Với điều kiện trên thì đường tròn có tâm và bán kính: .

  

Dạng 2: Viết phương trình đường tròn

Phương pháp giải.

Cách 1:  +  Tìm toạ độ tâm của đường tròn .

       +  Tìm bán kính của đường tròn .

       +  Viết phương trình của theo dạng .

Cách 2:  Giả sử phương trình đường tròn là: .

(Hoặc ).

       + Từ điều kiện của đề bài thành lập hệ phương trình với ba ẩn là , , .

       + Giải hệ để tìm , , từ đó tìm được phương trình đường tròn .

Chú ý:

*  .

*   tiếp xúc với đường thẳng  tại .

*   tiếp xúc với hai đường thẳng .

Bài 1. Viết phương trình đường tròn  trong mỗi trường hợp sau:

a) Có tâm và đi qua

b) Nhận làm đường kính với .

c) Đi qua ba điểm: .

ĐÁP ÁN

a) Đường tròn cần tìm có bán kính là nên có phương trình là .

b) Gọi I là trung điểm của đoạn suy ra .

.

Đường tròn cần tìm có đường kính là suy ra nó nhận làm tâm và bán kính nên có phương trình là .

c) Gọi phương trình đường tròn (C) có dạng là: .

Do đường tròn đi qua ba điểm nên ta có hệ phương trình:  

Vậy phương  trình đường tròn cần tìm là: .

Nhận xét:  Đối với ý c) ta có thể làm theo cách sau

Gọi và R là tâm và bán kính đường tròn cần tìm

Vì    

nên ta có hệ    

  

Bài 2. Viết phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:

a)   có tâm và tiếp xúc với đường thẳng .

b)   đi qua và tiếp xúc với hai trục toạ độ .

c)   có tâm nằm trên đường thẳng và tiếp xúc với hai đường thẳng có phương trình  và .

ĐÁP ÁN

a) Bán kính đường tròn chính là khoảng cách từ I tới đường thẳng nên .

Vậy phương trình đường tròn là : .

b) Vì điểm nằm ở góc phần tư thứ tư và đường tròn tiếp xúc với hai trục toạ độ nên tâm của đường tròn có dạng trong đó là bán kính đường tròn .

Ta có:    

 Vậy có hai đường tròn thoả mãn đầu bài là: .

c)  Vì đường tròn cần tìm có tâm nằm trên đường thẳng d nên gọi .

Mặt khác đường tròn tiếp xúc với nên khoảng cách từ tâm I đến hai đường thẳng này bằng nhau và bằng bán kính suy ra

     

        

- Với thì suy ra .

- Với  thì suy ra .

Vậy có hai đường tròn thỏa mãn có phương trình là

   và .

  

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn

Phương pháp giải.

Cho đường tròn tâm , bán kính .

  • Nếu biết tiếp điểm là thì tiếp tuyến đó đi qua và nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là .
  • Nếu không biết tiếp điểm thì dùng điều kiện: Đường thẳng tiếp xúc đường tròn khi và chỉ khi để xác định tiếp tuyến.

Bài 1. Cho đường tròn có phương trình và hai điểm .

a) Chứng minh rằng điểm thuộc đường tròn, điểm nằm ngoài đường tròn.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của tại điểm .

c) Viết phương trình tiếp tuyến của kẻ từ .

ĐÁP ÁN

Đường tròn (C) có tâm bán kính .

a) Ta có: suy ra điểm thuộc đường tròn và điểm nằm ngoài đường tròn .

b) Tiếp tuyến của tại điểm nhận làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là hay .

c)  Phương trình đường thẳng đi qua có dạng:     

 (với ) hay .

Đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn ,

       

+ Nếu , chọn suy ra phương trình tiếp tuyến là .

+ Nếu , chọn suy ra phương trình tiếp tuyến là .

Vậy qua kẻ được hai tiếp tuyến với (C) có phương trình là .

  

Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn biết vuông góc với đường thẳng .

ĐÁP ÁN

Đường tròn có tâm , bán kính .

nên nhận làm VTPT do đó phương trình có dạng .

Đường thẳng là tiếp tuyến với đường tròn khi và chỉ khi.

     

Vậy có hai tiếp tuyến là .

  

Bài 3. Cho đường tròn . Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn biết song song với đường thẳng .

ĐÁP ÁN

Đường tròn có tâm và bán kính .

song song với nên có phương trình dạng .

tiếp xúc với nên      

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là  .

  

2. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Đường tròn nào dưới đây đi qua điểm ?

A. .

B. .

C. .

D. .

ĐÁP ÁN

Thế tọa độ điểm vào lần lượt các phương trình, ta được đáp án A.

Chọn đáp án A.

  

Bài 2: Đường tròn đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?

A.

B. .

C.

D.

ĐÁP ÁN

Thay tọa độ vào PT đường tròn ta có :  

Chọn đáp án D.

  

Bài 3: Đường tròn nào dưới đây đi qua 2 điểm ?

A. .

B. .

C. .

D. .

ĐÁP ÁN

Thay tọa độ A, B vào đáp án D thỏa mãn

Chọn đáp án D.

  

Bài 4: Phương trình nào sau đây không phải là phương trình đường tròn?

A. .    

B. .

C. .        

D. .

ĐÁP ÁN

   là phương trình đường tròn  

Xét đáp án A.

Ta có    

    

Chọn đáp án A.

  

Bài 5: Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn?

A. .    

B.

C.    

D.

ĐÁP ÁN

    là phương trình đường tròn   

Xét đáp án C.

Ta có     

    

Chọn đáp án C.

  

Bài 6: Đường tròn có tâm và đi qua gốc tọa độ có phương trình là:

A. .    

B. .

C. .    

D. .

ĐÁP ÁN

    đi qua gốc tọa độ nên .

Ta có .

Vậy phương trình đường tròn .

Chọn đáp án D.


  

Bài 7: Đường tròn có bán kính bằng bao nhiêu?

A. .    

B. .    

C. .    

D. .

ĐÁP ÁN

Ta có     

Đường tròn có bán kính .

Chọn đáp án B.

  

Bài 8: Một đường tròn có tâm tiếp xúc với đường thẳng . Hỏi bán kính đường tròn bằng bao nhiêu?

A. .    

B. .    

C. .    

D. .

ĐÁP ÁN

Bán kính bằng khoảng cách từ tâm đến đường thẳng   

Chọn đáp án C.

  

Bài 9: Phương trình nào là phương trình của đường tròn có tâm và bán kính ?

A. .    

B. .

C. .    

D. .

ĐÁP ÁN

Phương trình của đường tròn có tâm và bán kính có dạng : 

    

Chọn đáp án A.

  

Bài 10: Cho đường tròn   . Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?

A. có bán kính .

B. tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi .

C. tiếp xúc với trục tung khi và chỉ khi .

D. tiếp xúc với trục tung khi và chỉ khi .

ĐÁP ÁN

  tiếp xúc với khi .

Do đó đáp án sai vì nếu .

Chọn đáp án C.

  

Bài 11: Tìm để là phương trình đường tròn ?

A. hoặc       

B. .

C.       

D.

ĐÁP ÁN

    là phương trình đường tròn

    

     

Chọn đáp án A.

  

Bài 12: Với giá trị nào của thì phương trình sau đây là phương trình đường tròn ?

A. .        

B. .

C. hoặc .        

D. hoặc .

ĐÁP ÁN

Xét phương trình   .

Để là phương trình đường tròn thì

Ta có    

  hoặc .

Chọn đáp án C.

  

Bài 13: Đường tròn nào dưới đây đi qua 3 điểm , , ?

A.        

B.

C.       

D. .

ĐÁP ÁN

Thay toạ độ ba điểm vào từng phương trình; nếu cùng thoả một phương trình nào thì đường tròn đó qua ba điểm .

Chọn đáp án D.

  

Bài 14: Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm .

A. .    

B. .

C. .    

D. .

ĐÁP ÁN

Gọi phương trình đường tròn có dạng trong đó .

đi qua 3 điểm nên ta có hệ phương trình

      

Vậy phương trình đường tròn là .

Chọn đáp án A.

  

Bài 15: Cho đường tròn . Phương trình tiếp tuyến của tại điểm

A. .    

B. .    

C. .    

D. .

ĐÁP ÁN

   có tâm là vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến .

Suy ra   .

Chọn đáp án D.

  

Bài 16: Cho đường tròn . Phương trình tiếp tuyến của tại là:

A. .   

B. .    

C. .    

D. .

ĐÁP ÁN

Áp dụng công thức phân đôi tọa độ ta được phương trình tiếp tuyến

     

      

Cách khác :

Dễ thấy điểm không thuộc các đường thẳng , , , và thuộc đường thẳng .

Cách khác :

Đường tròn có tâm .

Điểm thuộc đường tròn .

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm là đường thẳng đi qua và nhận vec tơ nên có phương trình .

Chọn đáp án D.

  

Bài 17: Cho đường tròn . Phương trình tiếp tuyến của song song với đường thẳng

A. .    

B. .

C. .    

D. .

ĐÁP ÁN

   có tâm và bán kính .

   là tiếp tuyến của khi và chỉ khi:

    

       

Chọn đáp án A.

  

Bài 18: Cho đường tròn và đường thẳng . Với giá trị nào của thì là tiếp tuyến của ?

A. .    

B. .    

C. .    

D. hoặc .

ĐÁP ÁN

  có tâm và bán kính .

  là tiếp tuyến của khi và chỉ khi:

        

Chọn đáp án D.

  

Bài 19: Cho . Phương trình tiếp tuyến của   vuông góc với đường thẳng

A. .    

B. .

C. .    

D. và  .

ĐÁP ÁN

Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng .

     

   tiếp xúc

   

hoặc .

Vậy  hay .

Chọn đáp án C.

  

Bài 20: Cho . Lập phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyến đi qua .

A. .    

B. .

C. .    

D. .

ĐÁP ÁN

Tiếp tuyến đi qua   

    

    tiếp xúc    

   

Với , chọn .

Với , chọn .

Vậy có hai tiếp tuyến .

  


Giáo viên biên soạn: Trịnh Văn Cảnh (Trường THCS - THPT Nguyễn Khuyến BD)

Tác giả: Trường THCS - THPT Nguyễn Khuyến - Tổ Toán

Bài 1: Phương Trình Đường Thẳng
Bài 3: Phương Trình Elip