Bài 3: Phương Trình Elip

1. Định Nghĩa

Cho hai điểm cố định  với  và một độ dài không đổi   . Elip là tập hợp các điểm   trong mặt phẳng sao cho .

Ta gọi  là tiêu điểm.

 là tiêu cự.

 là bán kính qua tiêu.

2. Phương trình chính tắc của elip

Trong mặt phẳng tọa độ   với :

Trong đó   và .

Phương trình  được gọi là phương trình chính tắc của Elip.

Ví dụ 1: Xác định tọa độ các đỉnh, các tiêu điểm, độ dài các trục, tiêu cự, tâm sai của elip có phương trình sau  .

Giải:

Từ phương trình của  ta có  .

Suy ra tọa độ các đỉnh là .

Tọa độ các tiêu điểm là  .

Độ dài trục lớn , độ dài trục nhỏ , tiêu cự .

Tâm sai của  là .

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ , viết phương trình chính tắc của Elip biết độ dài trục bé là  và tiêu cự là .

Giải:

Trong mặt phẳng tọa độ , gọi phương trình chính tắc của Elip là ,

Do độ dài trục bé là  và tiêu cự là   nên ta có:   ( thỏa mãn).

Vậy phương trình chính tắc của Elip là .

3. Hình dạng và tính chất của elip

Elip có phương trình  nhận các trục tọa độ làm trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

+) Tiêu điểm: Tiêu điểm trái  , tiêu điểm phải .

+) Các đỉnh  .

+) Trục lớn   nằm trên trục , trục nhỏ  nằm trên trục  .

+) Hình chữ nhật cơ sở là hình chữ nhật tạo bởi đường thẳng  và . Từ đó ta thấy hình chữ nhật cơ sở có chiều dài là  và chiều rộng là .

+) Tâm sai .

4. Vị trí tương đối của đường thẳng và elip

Cho đường thẳng và .

Xét hệ phương trình: .

Số nghiệm của hệ  bằng số giao điểm của đường thẳng   và elip .

+) Nếu hệ  vô nghiệm thì  .

+) Nếu hệ  có nghiệm duy nhất thì . Khi đó  tiếp xúc với   tại tiếp điểm .

+) Nếu hệ   có hai nghiệm phân biệt thì .

5. Vị trí tương đối của đường tròn và elip

Cho đường tròn   và  .

Xét hệ phương trình:  .

Số nghiệm của hệ  bằng số giao điểm của đường tròn   và elip .

Hệ   có thể vô nghiệm, có   nghiệm,  nghiệm,  nghiệm hoặc   nghiệm. Khi đó đường tròn   và elip   có thể có  điểm chung,  điểm chung,   điểm chung,   điểm chung hoặc   điểm chung theo thứ tự đó.

Bài tập luyện tập phương trình elip của trường Nguyễn Khuyến

Bài 1. Trong mặt phẳng  phương trình elip có hai đỉnh là    

A. .    

B.  .    

C. .    

D.  .

Bài 2. Trong mặt phẳng phương trình elip có độ dài trục lớn bằng , độ dài trục nhỏ bằng   là:

A.  .    

B. .    

C.  .    

D. .

Bài 3. Trong mặt phẳng  phương trình elip (E):   có một tiêu điểm là

A.  .    

B.  .    

C. .    

D. .

Bài 4.  Trong mặt phẳng  phương trình elip (E):  có tiêu cự bằng

A. .    

B.  .    

C. .    

D. .

Bài 5. Cho phương trình chính tắc của elip   , gọi  là nửa tiêu cự. Xét các mệnh đề sau:

I.    Hai đường chuẩn của  có phương trình  .

II.    Hai tiêu điểm của  là: .

III.    Các cạnh của hình chữ nhật cơ sở của  có phương trình lần lượt là  

IV.    Tiêu cự của  là:  .

V.    Tâm sai của   là:  .

VI.    Gọi  là một điểm của   thì .

VII.      có một tâm đối xứng là gốc tọa độ  và có hai trục đối xứng là  .

Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là?

A. .    

B. .    

C. .    

D. .

Bài 6. Cho  : . Dây cung vuông góc với trục lớn tại tiêu điểm có độ dài bằng:

A.  .    

B.    .    

C.   .    

D.  .

Bài 7.  Cho .   là một điểm trên   có khoảng cách đến tiêu điểm bên trái  bằng . Tính khoảng cách từ   đến tiêu điểm bên phải  

A. .    

B. .    

C. .    

D.  .

Bài 8.  Cho   là một điểm trên . Tính giá trị của biểu thức  với  và  là hai tiêu điểm của  

A. .    

B. .    

C. .    

D.  .

Bài 9. Đường Elip  có 1 tiêu điểm là

A.     

B.      

C.      

D.  

Bài 10. Cho Elip có độ dài trục lớn là  và độ dài trục bé là . Khi đó tâm sai của Elip bằng

A. .    

B. .    

C. .    

D. .

Bài 11. Cho Elip có phương trình : . Lúc đó hình chữ nhật cơ sở có diện tích bằng

A.  .    

B. .    

C.  .    

D. .

Bài 12. Tính tổng khoảng cách  từ điểm   thuộc Elip có phương trình chính tắc   đến 2 tiêu điểm của nó, biết có hoành độ  

A. .        

B. .    

C. .    

D. .

Bài 13. Cho Elip (E) có tiêu điểm  điểm  thuộc (E) và chu vi   bằng 18. Tính tâm sai của (E)?

A. .    

B. .    

C. .    

D. .

Bài 14.  Cho elip  và đường thẳng . Biết đường thẳng  cắt elip  tại hai điểm   và . Tính độ dài đoạn .

A. .    

B. .    

C. .    

D. .

Bài 15. Ông An làm một bồn hoa trước nhà, có dạng hình elip. Ông vẽ đường elip này bằng cách: đóng hai chiếc cộc tại hai điểm cách nhau 4 m, lấy một vòng dây kín không đàn hồi có độ dài 12 m, sau đó ông lấy một cây đinh đặt vào vòng dây để vẽ hình. Tìm phương trình chính tắc của elip đó.

A. .    

B. .    

C. .    

D. .

Giáo viên biên soạn: Nguyễn Ngọc Toàn (Trường THCS - THPT Lê Thánh Tông)