Table of Contents
I. Định nghĩa
Đường thẳng
Kí hiệu:
Chú ý:
II. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Định lí:
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.
Hệ quả:
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba của tam giác đó.
Xét
III. Tính chất
Tính chất 1:
Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng ấy.
Chú ý: Mọi điểm nằm trong mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng đều cách đều hai đầu đoạn thẳng.
Tính chất 2:
Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
IV. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
Tính chất 1:
a) Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.
b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
Tính chất 2:
a) Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.
b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
Tính chất 3:
a) Cho đường thẳng
b) Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.
Ví dụ 1: Cho hình chóp
a) Chứng minh
b) Gọi
Giải:
a) Vì:
Ta có:
b) Vì
Ta có:
Mà
Vậy:
V. Phép chiếu vuông góc và định lí ba đường vuông góc
1. Phép chiếu vuông góc
Cho đường thẳng
Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng mang đầy đủ các tính chất của phép chiếu song song.
2. Định lí ba đường vuông góc
Cho
3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng
Trường hợp
Trường hợp
Chú ý: Nếu
Ví dụ 2: Cho hình chóp
a) Gọi
b) Tính góc giữa
Giải:
a) Ta có:
Mà:
Ta có:
Mà:
Chứng minh tương tự, ta có:
Mà:
Ta có:
Mà:
Ta lại có:
Vậy góc giữa
b) Ta có:
Nên
Suy ra góc giữa
Vì tam giác SAC vuông tại A nên góc này bằng luôn
Tam giác SAC có
Vậy góc giữa
Bài tập luyện tập đường thẳng vuông góc với mặt phẳng của trường Nguyễn Khuyến
(Nguồn: Sưu tập từ Internet)
Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy (ABC), tam giác ABC vuông cân tại B. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAC và N là điểm thuộc cạnh SB sao cho SN = 2NB. Chứng minh rằng:
a)
b)
ĐÁP ÁN
a)
Vì:
Ta có:
b)
Gọi M là trung điểm của AC.
Xét tam giác SBM có:
Nên
Do đó:
Ta có: BM là đường trung tuyến của tam giác ABC vuông cân tại B.
Nên BM cũng là đường cao.
Suy ra:
Mà
Do đó:
Từ (1) và (2) suy ra:
Bài 2. Cho hình chóp
a) Chứng minh:
b) Chứng minh: AH, AK cùng vuông góc với SC. Từ đó suy ra ba đường thẳng AH, AK, AI cùng thuộc một mặt phẳng.
c) Chứng minh rằng:
ĐÁP ÁN
a) Chứng minh:
Ta có:
Mà
Do đó:
Tương tự, ta có:
Mà
Do đó:
Ta lại có:
Mà:
Do đó:
b) Chứng minh: AH, AK cùng vuông góc với SC. Từ đó suy ra ba đường thẳng AH, AK, AI cùng thuộc một mặt phẳng.
Vì:
Ta có:
Mà
Vì:
Ta có:
Mà
Do đó ta có:
Vì vậy,
c) Chứng minh rằng:
Xét tam giác SAB vuông tại A, đường cao AH có:
Xét tam giác SAD vuông tại A, đường cao AK có:
Mà ta lại có:
Từ (1) và (3) suy ra:
Từ (2) và (4) suy ra:
Xét tam giác SBD có:
Mà:
Do đó:
Mà
Vậy
Bài 3. Cho hình chóp
a) SC và (ABCD) .
b) SC và (SAB).
ĐÁP ÁN
a) Tính góc giữa
Ta có:
Suy ra:
Do đó: Góc giữa
Ta có:
Suy ra:
Vậy:
b) Tính góc giữa
Ta có:
Mà
Do đó:
Lại có:
Suy ra:
Do đó:
Thật vậy, ta có:
Vì
Suy ra:
Vì
Suy ra:
Vậy
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Hoàng Lân (Trường THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN BD)