Picture of the author
Picture of the author
SGK Toán 11»Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Gó...»Bài 3: Đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳ...

Bài 3: Đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng

Lý thuyết bài đường thẳng vuông góc với mặt phẳng môn toán 11 bộ sách giáo khoa. Nay chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu lý thuyết và bài tập minh họa một cách đầy đủ, dễ hiểu.

Xem thêm

I. Định nghĩa

Đường thẳng  được gọi là vuông góc với mặt phẳng  nếu  vuông góc với mọi đường thẳng  nằm trong mặt phẳng .

bai-3-duong-thang-vuong-goc-voi-mat-phang 01

Kí hiệu: .

Chú ý: .

II. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Định lí:

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.


bai-3-duong-thang-vuong-goc-voi-mat-phang 02

Hệ quả:

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba của tam giác đó.

Xét  có:  

III. Tính chất

Tính chất 1:

Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng ấy.

bai-3-duong-thang-vuong-goc-voi-mat-phang 03

Chú ý: Mọi điểm nằm trong mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng đều cách đều hai đầu đoạn thẳng.

Tính chất 2:

Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

IV. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng

Tính chất 1:

a) Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

bai-3-duong-thang-vuong-goc-voi-mat-phang 04

Tính chất 2:

a) Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

bai-3-duong-thang-vuong-goc-voi-mat-phang 05

Tính chất 3:

a) Cho đường thẳng  và mặt phẳng  song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với   thì cũng vuông góc với .

b) Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.

bai-3-duong-thang-vuong-goc-voi-mat-phang 06

Ví dụ 1: Cho hình chóp  có đáy là tam giác   vuông cân tại  và có cạnh  vuông góc với mặt phẳng .

a) Chứng minh .

b) Gọi  là đường cao của tam giác . Chứng minh .

Giải:

bai-3-duong-thang-vuong-goc-voi-mat-phang 07

a) Vì:

Ta có:

b) Vì  

Ta có:  

Mà  

Vậy:   

V. Phép chiếu vuông góc và định lí ba đường vuông góc

1. Phép chiếu vuông góc

Cho đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng . Phép chiếu song song theo phương của  lên mặt phẳng  được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng .

bai-3-duong-thang-vuong-goc-voi-mat-phang 08

Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng mang đầy đủ các tính chất của phép chiếu song song.

2. Định lí ba đường vuông góc

Cho   b không vuông góc với và   là hình chiếu vuông góc của  lên mặt phẳng . Khi đó:

.

bai-3-duong-thang-vuong-goc-voi-mat-phang 09

3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng  và mặt phẳng .

Trường hợp  vuông góc với  thì ta nói rằng góc giữa    bằng .

Trường hợp   không vuông góc với   thì góc giữa  và  là góc giữa đường thẳng  và hình chiếu   của nó lên mặt phẳng .

bai-3-duong-thang-vuong-goc-voi-mat-phang 10

Chú ý: Nếu  là góc giữa  và  thì ta luôn có .

Ví dụ 2: Cho hình chóp  có đáy  là hình vuông cạnh a, có cạnh  vuông góc với mặt phẳng  và .

a) Gọi   và   lần lượt là hình chiếu của   lên  và . Tính góc giữa đường thẳng   và mặt phẳng .

b) Tính góc giữa  và mặt phẳng .

Giải:

bai-3-duong-thang-vuong-goc-voi-mat-phang 11

a) Ta có: ì

Mà:  . Suy ra:  

Ta có:

Mà:  . Suy ra: .

Chứng minh tương tự, ta có: 

ì .

Mà:  . Suy ra: .

Ta có:

Mà:   . Suy ra:  .

Ta lại có: .

Vậy góc giữa  và   bằng  .

b) Ta có: .

Nên   là hình chiếu của   lên mặt phẳng .

Suy ra góc giữa    bằng góc giữa  và .

Vì tam giác SAC vuông tại A nên góc này bằng luôn .

Tam giác SAC có  nên là tam giác vuông. Suy ra .

Vậy góc giữa  và   bằng .


Bài tập luyện tập đường thẳng vuông góc với mặt phẳng của trường Nguyễn Khuyến

(Nguồn: Sưu tập từ Internet)

Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy (ABC), tam giác ABC vuông cân tại B. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAC và N là điểm thuộc cạnh SB sao cho SN = 2NB. Chứng minh rằng:

a)  

b)  

ĐÁP ÁN

 bai-3-duong-thang-vuong-goc-voi-mat-phang 12  

a)      

Vì: .

Ta có: .

b)        

Gọi M là trung điểm của AC.

Xét tam giác SBM có:

      

  (vì G là trọng tâm của )

Nên .

Do đó: .

Ta có: BM là đường trung tuyến của tam giác ABC vuông cân tại B.

Nên BM cũng là đường cao.

Suy ra:      

Mà            

Do đó:        

Từ (1) và (2) suy ra:       

  

Bài 2. Cho hình chóp  có đáy  là hình vuông tâm O. SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD.

a) Chứng minh: .

b) Chứng minh: AH, AK cùng vuông góc với SC. Từ đó suy ra ba đường thẳng AH, AK, AI cùng thuộc một mặt phẳng.

c) Chứng minh rằng: . Từ đó suy ra: .

ĐÁP ÁN

   bai-3-duong-thang-vuong-goc-voi-mat-phang 13  

a) Chứng minh: .

Ta có:

    (vì ABCD là hình vuông)

    (vì .

Mà     .

Do đó: .

Tương tự, ta có:

     (vì ABCD là hình vuông)

    (vì .

Mà      .

Do đó: .

Ta lại có:

    (vì ABCD là hình vuông)

    (vì .

Mà:      .

Do đó: .

b) Chứng minh: AH, AK cùng vuông góc với SC. Từ đó suy ra ba đường thẳng AH, AK, AI cùng thuộc một mặt phẳng.

Vì: .

Ta có:  .

. Do đó: .

Vì: .

Ta có: .

. Do đó: .

Do đó ta có:  cùng vuông góc với .

Vì vậy,   cùng chứa trong mặt phẳng qua  và vuông góc với .

c) Chứng minh rằng: . Từ đó suy ra: .

Xét tam giác SAB vuông tại A, đường cao AH có:

     

        

Xét tam giác SAD vuông tại A, đường cao AK có:

       

        

Mà ta lại có:   (vì ABCD là hình vuông).

Từ (1) và (3) suy ra:  .

Từ (2) và (4) suy ra: .

Xét tam giác SBD có:  (Định lí Talét đảo).

Mà:    (chứng minh ở câu a)

Do đó: .

.

Vậy .

  

Bài 3. Cho hình chóp  có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và . Tính góc giữa:

a) SC và (ABCD) .

b) SC và (SAB).

ĐÁP ÁN

 bai-3-duong-thang-vuong-goc-voi-mat-phang 14     

a) Tính góc giữa  và .

Ta có:

     

   tại A.

Suy ra:   là hình chiếu của   lên    

Do đó: Góc giữa  và  bằng góc giữa ,  và bằng góc  (Vì   vuông tại )

Ta có:    

Suy ra:      

Vậy: .

b) Tính góc giữa  và .

Ta có:

      (vì  là hình vuông)

    (vì .

Mà     .

Do đó:  tại .

Lại có:     

Suy ra:  là hình chiếu của  lên .

Do đó:  (vì  vuông tại B)

Thật vậy, ta có:  vuông tại B.

 vuông tại A, nên:

      

Suy ra:       

 vuông tại B, nên: .

Suy ra:      

Vậy .

  


Giáo viên biên soạn: Nguyễn Hoàng Lân (Trường THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN BD)

Tác giả: Trường THCS - THPT Nguyễn Khuyến - Tổ Toán

Bài 2: Hai Đường Thẳng Vuông Góc
Bài 4: Hai Mặt Phẳng Vuông Góc