Picture of the author
Picture of the author
SGK Toán 11»Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Gó...»Bài 6: Câu Hỏi Ôn Tập Chương 3: Vectơ Tr...

Bài 6: Câu Hỏi Ôn Tập Chương 3: Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian

Lý thuyết câu hỏi ôn tập chương 3 vectơ trong không gian quan hệ vuông góc trong không gian môn toán 11 bộ sách giáo khoa. Nay chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu lý thuyết và bài tập minh họa một cách đầy đủ, dễ hiểu

Xem thêm

Câu hỏi ôn tập Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian

Bài 1 SGK trang 121

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng ?

a) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song

b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song

c) Mặt phẳng (α) vuông góc với đường thẳng b và b vuông góc với thẳng a, thì a song song với (α).

d) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song.

e) Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song.

ĐÁP ÁN

a) Đúng      

b) Đúng  và             

c) Sai (vì a có thể nằm trong mp )

d) Sai, chẳng hạn hai mặt phẳng  và cùng đi qua đường thẳng a và nên cùng vuông góc với mp nhưng cắt nhau.

e) Sai, chẳng hạn a và b cùng ở trong mp và mp . Lúc đó a và b cùng vuông góc với d nhưng a và b có thể không song song nhau.

Bài 2 SGK trang 121

Trong các điều khẳng định sau đây, điều nào đúng?

a) Khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối hai điểm bất kì nằm trên hai đường thẳng ấy và ngược lại.

b) Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

c) Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng khác cho trước.

d) Đường thẳng nào vuông góc với cả hai đường thẳng chéo nhau cho trước là đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

ĐÁP ÁN

a) Đúng. Khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối hai điểm bất kì nằm trên hai đường thẳng ấy và ngược lại (xem mục c).

Tính chất của khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (Bài 5 – chương III).

b) Sai. Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

c) Sai. Vì trong trường hợp đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì ta có vô số mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước vì bất kì mặt phẳng nào chứa đường thẳng

cũng đều vuông góc với mặt phẳng cho trước. Để có khẳng định đúng ta phải nói: Qua một đường thẳng không vuông góc với một mặt phẳng có duy nhất một mặt phẳng

vuông góc với mặt phẳng đã cho.

d) Sai. Vì đường vuông góc chung của hai đường thẳng phải cắt cả hai đường ấy.

Bài 3 SGK trang 121

Hình chóp  có đáy  là hình vuông cạnh , cạnh và vuông góc với mặt phẳng  

a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.

b) Mặt phẳng đi qua  và vuông góc với cạnh  lần lượt cắt tại . Chứng minh  song song với  và  vuông góc với  .

ĐÁP ÁN

 bai-6-cau-hoi-on-tap-chuong-3-vecto-trong-khong-gian-quan-he-vuong-goc-trong-khong-gian-01       

a)          

   là các tam giác vuông tai A

Ta có :

  vuông tại B

Tương tự :

   vuông tai D

b)    Ta có       

Mà       

Chứng minh tương tự ta có        

Ta chứng minh được   ( hai đường cao xuất phát từ 2 đỉnh tương ứng )

Do đó A thuộc trung trực của      

Ta cũng có :     

    góc = góc    

Do đó      

Suy ra là đường trung trực của  do đó      

Mặt khác       

Từ (3), (4) suy ra :      

Ta có :      

Từ (5), (6)    

Bài 4 SGK trang 121

Hình chóp  có đáy là hình vuông  cạnh , cạnh và vuông góc với mặt phẳng  

a)    Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông

b)    Mặt phẳng đi qua  và vuông góc với cạnh lần lượt cắt tại . Chứng minh song song với   vuông góc với  

ĐÁP ÁN

 bai-6-cau-hoi-on-tap-chuong-3-vecto-trong-khong-gian-quan-he-vuong-goc-trong-khong-gian-02        

a)    Theo giả thiết góc nên theo tính chất của hình thoi góc hay tam giác BDC đều

Xét tam giác BOE có nên tam giác BOE đều

Do đó OF là đường cao và ta được     

     

Mà        

b)    Vì  và hai mặt phẳng này giao nhau theo giao tuyến SF nên nếu từ điểm O ta kẻ thì và OH chính là khoảng cách từ O đến (SBC)

Ta có :

     

      

Gọi K là hình chiếu của A trên (SBC) ta có       

Trong thì OH là đường trung bình, do đó       

Vậy  

Bài 5 SGK trang 121

Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ADC nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tam giác ABC vuông tại A có A vuông tại D có  

a)    Chứng minh các tam giác BAD và BDC là  các tam giác vuông

b)    Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AD và BC . Chứng minh rằng IK là đường vuông góc chung cuả hai đường thẳng AD và BC

ĐÁP ÁN

bai-6-cau-hoi-on-tap-chuong-3-vecto-trong-khong-gian-quan-he-vuong-goc-trong-khong-gian-03         

a)                   

   vuông tại A

          

   vuông tai D

b)    Goi J là trung điểm của       

      

Ta cũng có         

Từ (1) và (2) suy ra :       

Ta lại có :        

   cân tại đỉnh        

Từ (3) và (4) suy ra Ik là đoạn vuông góc chung của AD và BC

Bài 6 SGK trang 122

Cho khối lập phương  cạnh  

a)    Chứng minh  vuông góc với mặt phẳng  

b)    Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của  và  

ĐÁP ÁN

 bai-6-cau-hoi-on-tap-chuong-3-vecto-trong-khong-gian-quan-he-vuong-goc-trong-khong-gian-04        

a)    Ta có tứ giác là hình vuông nên      

Mặt khác      

Từ (1) và (2) suy ra :       

b)    Do nên  mặt phẳng  là mặt phẳng chứa và song song với     

Ta tìm hình chiếu của trên      

Gọi là tâm của các mặt bên   và      

Từ F kẻ   . Ta có mà       

    và      

      

     

Từ (3) và (4) suy ra :      

Vậy I là hình chiếu của F trên  . Qua I ta dựng đường thẳng song song với thì đường thẳng này chính là hình chiếu của trên      

Đường thẳng qua I song song với cắt tại K. Qua K kẻ đường thẳng song song với IF, đường này cắt  tai H. KH chính là đường vuông góc chung của  và         

       

       

Tam giác vuông góc tai L là đường cao thuộc cạnh huyền nên       

Với  ta tính ra :     

Bài 7 SGK trang 122

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh có góc    

a)    Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) và độ dài cạnh SC

b)    Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

c)    Chúng minh SB vuông góc với BC

d)    Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD). Tính  

ĐÁP ÁN

   bai-6-cau-hoi-on-tap-chuong-3-vecto-trong-khong-gian-quan-he-vuong-goc-trong-khong-gian-05      

a)    Kẻ     

Do       

Suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác      

Ta có : nên là tam giác đều cạnh     

     

Trong tam giác vuông , ta lạ có      

       

Trong tam giác vuông        

b)            

c)     Ta có :

        

     vuông tại B      

d )Ta có :

      

         

        

     


Giáo viên biên soạn: Nguyễn Hữu Thiện (Trường THCS - THPT Nguyễn Khuyến)

Tác giả: Trường THCS - THPT Nguyễn Khuyến - Tổ Toán

Bài 5: Khoảng Cách