Bài 2: Tích Phân

1. Tích phân là gì?

1.1. Diện tích hình thang cong

Cho hàm số liên tục, không đổi dấu trên đoạn Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng   được gọi là hình thang cong. (SGK, trang 102)

Bây giờ ta xét hình phẳng D được giới hạn bởi 1 đường cong kín bất kì. Bằng cách kẻ các đường thẳng song song với các trục toạ độ, ta chia D thành những hình nhỏ là những hình thang cong. Vậy chỉ cần ta biết cách tính diện tích của hình thang cong thì ta có thể tính được diện tích của một hình phẳng D bất kì.

Người ta chứng minh được diện tích S của hình thang cong được giới hạn bởi đồ thị hàm số liên tục, không âm trên đoạn , trục hoành và hai đường thẳng được tính bởi công thức: , trong đó là một nguyên hàm của hàm số trên đoạn .

1.2. Định nghĩa tích phân

Cho hàm số  liên tục trên đoạn . Giả sử là một nguyên hàm của hàm số trên đoạn .

Hiệu số  được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn ) của hàm số , kí hiệu là:

Ta còn dùng kí hiệu để chỉ hiệu số .

Vậy ta có:

Ví dụ 1:  Tính

Giải:

Ta có:

Nhận xét:

1. Tích phân của hàm số trên đoạn không phụ thuộc tường minh vào biến số tích phân mà chỉ phụ thuộc vào dạng hàm và các cận Tức là ta có thể ghi: 
2.                                                    
3. Ý nghĩa hình học của tích phân:

Nếu hàm số liên tục, không âm trên đoạn , thì tích phân chính là diện tích của hình thang cong được giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng .

2. Tính chất tích phân

Cho các hàm số  f (x) và g(x) liên tục trên đoạn [a;b], ta có:

2.1. Tính chất 1

   là hằng số thực bất kì.

2.2. Tính chất 2

2.3. Tính chất 3

3. Cách tính tích phân

3.1. Phương pháp đổi biến số

Tương tự phương pháp đổi biến số trong việc tính nguyên hàm, ta có định lí sau đây.

Định lí:

Cho hàm số liên tục trên đoạn . Giả sử hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn sao cho và với mọi

Khi đó:

Chú ý:

Trong nhiều trường hợp ta còn sử dụng phép đổi biến số ở dạng sau (khi hàm số có thể viết được ở dạng: ).

Cụ thể là:

trong đó,  là hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn  và là hàm số liên tục trên đoạn

Ví dụ 2: Tính

Giải:

Đặt 

3.2. Phương pháp tích phân từng phần

Tương tự phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta có định lí sau đây.

Định lí:

Nếu  là các hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn thì

Hay viết gọn là:

 Ví dụ 3: Tính

Giải:

Đặt:

Khi đó:

» Xem thêm: Công thức tính tích phân từng phần và ví dụ cụ thể

Biên soạn: TRẦN THANH HẢI  (THCS - THPT Nguyễn Khuyến)