Bài 4: Phương Trình Bậc Hai Với Hệ Số Thực

1. Căn bậc hai của một số thực âm

Ta có:

:  căn bậc hai của 4 là .

:  căn bậc hai của -4 là .

:  căn bậc hai của -5 là .

Khi đó, ta suy ra   gọi là căn bậc hai của  khi .

Vậy, căn bậc hai của một số thực  âm là .

2. Phương trình bậc hai với hệ số thực

Xét phương trình

Ta có

• Nếu  thì phương trình có một nghiệm thực ;
• Nếu  thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt:

• Nếu  thì phương trình có hai nghiệm phức phân biệt:

Nhận xét: 

• Trên tập , mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phân biệt).
• Trên tập , phương trình bậc hai khi có hai nghiệm phức phân biệt , khi đó: và hay .
• Người ta cũng chứng minh được rằng mọi phương trình bậc

trong đó   đều có n nghiệm phức (các nghiệm không nhất thiết phân biệt).

Ví dụ 1: Gọi   là hai nghiệm của phương trình . Giá trị của biểu thức  là

1. 2.                  
2. 1.                        
3. 4.                              
4. 3.

Giải:

Ta có  nên phương trình đã cho có hai nghiệm là:

Suy ra .

Chọn đáp án B.

Ví dụ 2: Gọi là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình . Tìm tọa độ điểm biểu diễn cho số phức   trong mặt phẳng phức?

1. P(3;2).  
2. N(1;2).  
3. Q(3;-2).                  
4. M(1;2).

Giải:

Ta có  nên phương trình đã cho có hai nghiệm là:

Suy ra .

Tọa độ điểm biểu diễn số phức   là .

Chọn đáp án A.

Ví dụ 3: Kí hiệu là bốn nghiệm phức của phương trình . Giá trị của  bằng

2. 12.
3. 0.

Giải: 

Ta có: .

Phương trình có bốn nghiệm lần lượt là:

Do đó: .

Chọn đáp án B.

Ví dụ 4: Gọi   là hai nghiệm phức của phương trình . Giá trị của biểu thức  bằng:

1. 2¹⁰¹¹
2. 2¹⁰¹⁰
3. 0
4. - 2¹⁰¹¹

Giải:

Ta có nên phương trình có hai nghiệm là

Khi đó: 

Chọn đáp án D.

Hệ thức Vi-ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực

Phương trình bậc hai có hai nghiệm   (thực hoặc phức) ta có:

Ví dụ 1: Gọi là hai nghiệm phức của phương trình . Giá trị của biểu thức  bằng

1. 14.
2. –9.
3. –6.
4. 7.

Giải:

Gọi   là nghiệm của phương trình .

Theo định lí Vi-ét, ta có:

Suy ra .

Chọn đáp án C.

Ví dụ 2: Gọi  là hai nghiệm phức của phương trình

Tính

Giải:

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:  

Chọn đáp án A.

Ví dụ 3: Cho phương trình trong đó m là tham số thực. Tìm m để phương trình có hai nghiệm  thỏa mãn .

Giải:

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

Suy ra .

Chọn đáp án A.

Giáo viên soạn: Nguyễn Thị Lệ Thi

Đơn vị: Trường THCS - THPT Nguyễn Khuyến Bình Dương