Bất đẳng thức Bunhiacopxki và cách sử dụng giải bài tập toán

Bất đẳng thức Bunhiacopxki có tên gọi chính xác là bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopxki – Schwarz. Là một bất đẳng thức quan trọng trong toán học liên quan đến việc so sánh tổng các lũy thừa của các số dương. Đặc biệt có tính thực tiễn trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức trong chương trình Toán phổ thông. Thấu hiểu điều đó, VOH Giáo dục đã tổng hợp đầy đủ kiến thức kiến thức liên quan đến bất đẳng thức Bunhiacopxki giới thiệu đến các em học sinh trong bài viết ngay sau đây.

1. Bất đẳng thức Bunhiacopxki

Bất đẳng thức Bunhiacopxki có tên gọi chính xác là bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopxki – Schwarz, do ba nhà toán học độc lập phát hiện và đề xuất, có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực toán học. Thường được gọi theo tên nhà Toán học người Nga Bunhiacopxki.

Bất đẳng thức này rất quen thuộc và thường được ứng dụng rất nhiều trong các bài toán về bất đẳng thức và cực trị. Trong phạm vi chương trình Toán THPT, chúng ta cũng chỉ quan tâm đến các trường hợp riêng của bất đẳng thức Bunhiacopxki.

Công thức của bất đẳng thức Bunhiacopxki

2. Các hệ quả của bất đẳng thức Bunhiacopxki

Sau đây là các hệ quả:

• Hệ quả 1:

• Hệ quả 2:

3. Các dạng của bất đẳng thức Bunhiacopxki

Bao gồm các dạng sau đây:

3.1. Dạng cơ bản

3.2. Dạng phân thức

Trong các dạng trên thì bất đẳng thức dạng 1, dạng 2, dạng 3 gọi là các bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản và bất đẳng thức dạng 4 còn được gọi là bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức.

3.3. Một số dạng đặc biệt

Với bộ 2 số thực a, b và x, y

Với bộ 3 số thực a, b, c và x, y, z

Bổ sung

4. Một số kỹ thuật áp dụng (cách sử dụng) bất đẳng thức Bunhiacopxki

4.1. Kỹ thuật chọn điểm rơi

Cũng tương tự như bất đẳng thức Cauchy, khi sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh bất đẳng thức, ta cần phải bảo toàn được dấu đẳng thức xảy ra, điều này có nghĩa là ta cần phải xác định được điểm rơi của bài toán khi áp dụng.

4.2. Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản

Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản là những bất đẳng thức đánh giá từ đại lượng (a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n)² về đại lượng (a²₁+a²₂+…+a²_n)(b²₁+b²₂+…+b²_n) hoặc ngược lại.

4.3. Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức

Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức là bất đẳng thức có ứng dụng rộng rãi trong chứng minh các bài toán bất đẳng thức. Nó giải quyết được một lớp các bất đẳng thức chứa các đại lượng có dạng phân thức.

4.4. Kỹ thuật thêm bớt

Có những bất đẳng thức (hay biểu thức cần tìm GTLN, GTNN) nếu để nguyên dạng như đề bài cho đôi khi khó hoặc thậm chí không thể giải quyết bằng cách áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki. Khi đó ta chịu khó biến đổi một số biểu thức bằng cách thêm bớt các số hay biểu thức phù hợp ta có thể vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki một cách dễ dàng hơn.

4.5. Kỹ thuật đổi biến

Có một số bất đẳng thức, nếu ta để nguyên dạng phát biểu của nó thì rất khó để phát hiện ra cách chứng minh. Tuy nhiên bằng một số phép đổi biến nho nhỏ ta có thể đưa chúng về dạng quen thuộc mà bất đẳng thức Bunhiacopxki có thể áp dụng được.

Công thức kỹ thuật đổi biến

Trên đây là những kiến thức cơ bản liên quan đến bất đẳng thức Bunhiacopxki mà học sinh cần nắm rõ để áp dụng giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức, phân thức, tìm cực trị. Hy vọng bài viết này đã cung cấp kiến thức hữu ích cho ccas em học sinh.