Định nghĩa phân số, những tính chất cơ bản liên quan và một số bài tập tham khảo

1. Khái quát về phân số

• Định nghĩa

Mỗi phân số gồm có 2 phần: tử số và mẫu số. Tử số là số tự nhiên viết trên gạch ngang. Mẫu số là số tự nhiên khác 0 viết dưới dấu gạch ngang.

Ví dụ:

$\frac{1}{2}$: một phần hai; $\frac{3}{4}$: ba phần tư; $\frac{5}{7}$∶ năm phần bảy; $\frac{9}{10}$∶ chín phần mười.

Thương của phép chia số tự nhiên cho số tự nhiên (khác 0) có thể viết thành một phân số, tử số là số bị chia và mẫu số là số chia.

Ví dụ: 9 : 4 = $\frac{9}{4}$  ; 7 : 2 = $\frac{7}{2}$

2. Tính chất cơ bản của phân số

• Nếu nhân cả tử và mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho.

Ví dụ: $\frac{7}{2}$  = $\frac{7x3}{2x3}$ = $\frac{21}{6}$

• Nếu chia hết cả tử số và mẫu số của một phân số cho cùng một số tự nhiên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho.

Ví dụ: $\frac{6}{15}= \frac{6:3}{15:3}=\frac{2}{5}$

Ứng dụng tính chất cơ bản của phân số

• Rút gọn phân số

Ví dụ:

$\frac{60}{150}=\frac{60:10}{150:10}=\frac{6}{15}=\frac{6:3}{15:3}=\frac{2}{5}$ hoặc $\frac{60}{150}=\frac{60:30}{150:30}=\frac{2}{5}$

• Quy đồng mẫu số

Ví dụ:

Quy đồng mẫu số của $\frac{7}{9}$ và $\frac{10}{2}$

Nhận xét: 9 x 2 = 18, chọn 18 là mẫu số chung (MSC), ta có:

$\frac{7}{9}=\frac{7x2}{9x2}=\frac{14}{18}$; $\frac{10}{2}=\frac{10x9}{2x9}=\frac{90}{18}$

Quy đồng mẫu số của $\frac{5}{4}$và $\frac{9}{16}$

Nhận xét: 16 : 4 = 4, chọn 16 là mẫu số chung (MSC), ta có:

$\frac{5}{4}=\frac{5x4}{4x4}=\frac{20}{16}$; giữ nguyên $\frac{9}{16}$

3. So sánh hai phân số

• So sánh các phân số cùng mẫu số

Trong hai phân số có cùng mẫu số:

+) Phân số nào có tử số bé hơn thì phân số đó bé hơn.

+) Phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.

+) Nếu tử số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau.

Ví dụ:

$\frac{10}{2}>\frac{5}{2}$; $\frac{10}{2}=\frac{10}{2}$; $\frac{9}{8}<\frac{11}{8}$

• So sánh các phân số cùng tử số

Trong hai phân số có cùng tử số:

+) Phân số nào có mẫu số bé hơn thì phân số đó lớn hơn.

+) Phân số nào có mẫu số lớn hơn thì phân số đó bé hơn.

+) Nếu mẫu số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau.

Ví dụ:

$\frac{1}{2}>\frac{1}{4}; \frac{2}{7}<\frac{2}{5}$

• So sánh các phân số khác mẫu số

Quy đồng mẫu số: Muốn so sánh hai phân số khác mẫu số, ta có thể quy đồng mẫu số hai phân số đó rồi so sánh các tử số của hai phân số mới.

Phương pháp giải:

Bước 1: Quy đồng mẫu số hai phân số.

Bước 2: So sánh hai phân số có cùng mẫu số đó.

Bước 3: Rút ra kết luận.

Ví dụ: So sánh hai phân số $\frac{2}{3}$ và  $\frac{5}{7}$

Ta có: MSC = 21. Quy đồng mẫu hai phân số ta có

$\frac{2}{3}=\frac{2x7}{3x7}=\frac{14}{21}; \frac{5}{7}=\frac{5x3}{7x3}=\frac{15}{21}$

Ta thấy hai phân số $\frac{14}{21}$và $\frac{15}{21}$ đều có mẫu số là 21, 14 < 15 nên $\frac{14}{21} < \frac{15}{21}$

Vậy $\frac{2}{3}<\frac{5}{7}$

Quy đồng tử số: Khi hai phân số có mẫu số khác nhau nhưng mẫu số rất lớn và tử số nhỏ thì ta nên áp dụng cách quy đồng tử số để việc tính toán trở nên dễ dàng hơn.

Muốn so sánh hai phân số khác tử số, ta có thể quy đồng tử số hai phân số đó rồi so sánh các mẫu số của hai phân số mới.

Phương pháp giải:

Bước 1: Quy đồng tử số hai phân số.

Bước 2: So sánh hai phân số có cùng tử số đó.

Bước 3: Rút ra kết luận.

Ví dụ: So sánh hai phân số: $\frac{2}{123}$và $\frac{3}{185}$

Ta có tử số chung (TSC) = 6. Quy đồng tử số hai phân số ta có:

$\frac{2}{123}=\frac{2x3}{123x3}=\frac{6}{369}$; $\frac{3}{185}=\frac{3x2}{185x2}=\frac{6}{370}$

Ta thấy hai phân số $\frac{6}{369}$và $\frac{6}{370}$ đều có tử số là 6, 369 < 370 nên $\frac{6}{369}>\frac{6}{370}$

Vậy $\frac{2}{123}>\frac{3}{185}$

4. Các phép tính phân số

• Phép cộng phân số

Muốn cộng hai phân số cùng mẫu số, ta cộng hai tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số. 

Ví dụ: 

$\frac{20}{16}+\frac{9}{16}=\frac{20+9}{16}=\frac{29}{16}$

Muốn cộng hai phân số khác mẫu số, ta quy đồng mẫu số hai phân số, rồi cộng hai phân số đó. 

Ví dụ: thực hiện phép tính $\frac{7}{9}+\frac{10}{2}$

$\frac{7}{9}=\frac{7x2}{9x2}=\frac{14}{18}$; $\frac{10}{2}=\frac{10x9}{2x9}=\frac{90}{18}$  

Cộng hai phân số:    $\frac{7}{9}+\frac{10}{2}=\frac{14}{18}+\frac{90}{18}=\frac{104}{18}$

• Phép trừ phân số

Muốn trừ hai phân số cùng mẫu số, ta trừ tử số của phân số thứ nhất cho tử số của phân số thứ hai và giữ

nguyên mẫu số

Ví dụ:  $\frac{20}{8}-\frac{9}{8}=\frac{20-9}{8}=\frac{11}{8}$

Muốn trừ hai phân số khác mẫu số, ta quy đồng mẫu số hai phân số, rồi trừ hai phân số đó. 

Ví dụ: thực hiện phép tính  $\frac{10}{2}-\frac{7}{9}$

Quy đồng mẫu số hai phân số:  

$\frac{10}{2}=\frac{10x9}{2x9}=\frac{90}{18}$; $\frac{7}{9}=\frac{7x2}{9x2}=\frac{14}{18}$

Trừ hai phân số: $\frac{10}{2}-\frac{7}{9}=\frac{90}{18}-\frac{14}{18}=\frac{86}{18}$

• Phép nhân phân số

Muốn nhân hai phân số, ta lấy tử số nhân với tử số, mẫu số nhân với mẫu số.

Ví dụ:  $\frac{2}{5}x\frac{4}{3}=\frac{2x4}{5x3}=\frac{8}{15}$

• Phép chia phân số cho phân số

Để thực hiện phép chia hai phân số, ta lấy phân số thứ nhất nhân với phân số thứ hai đảo ngược. 

Ví dụ: Thực hiện phép tính:$\frac{7}{15}:\frac{2}{3}$

Phân số  $\frac{3}{2}$   gọi là phân số đảo ngược của phân số $\frac{2}{3}$. Ta có: $\frac{7}{15}:\frac{2}{3}= \frac{7}{15}x\frac{3}{2} = \frac{21}{30}$

5. Một số bải tập tham khảo

Bài 1: (trang 107, sách giáo khoa toán lớp 4)

 

a) Viết rồi đọc phân số chỉ phần đã tô màu trong mỗi hình trên.

b) Trong mỗi phân số đó, mẫu số cho biết gì, tử số cho biết gì?

Giải:

a)

Hình 1: $\frac{2}{5}$: hai phần năm

Hình 2: $\frac{5}{8}$: năm phần tám

Hình 3: $\frac{3}{4}$: ba phần tư

Hình 4: $\frac{7}{10}$: bảy phần mười

Hình 5: $\frac{3}{6}$: ba phần sáu

Hình 6: $\frac{3}{7}$: ba phần bảy

b)

Hình 1: mẫu là số 5 cho biết hình chữ nhật được chia thành 5 phần bằng nhau, tử số là 2 cho biết có 2 phần được tô màu.

Hình 2: mẫu là số 8 cho biết hình tròn được chia thành 8 phần bằng nhau, tử số là 5 cho biết có 5 phần của hình tròn được tô màu.

Hình 3: mẫu là số 4 cho biết hình tam giác được chia thành 4 phần bằng nhau, tử số là 3 cho biết có 3 phần của hình tam giác được tô màu.

Hình 4: mẫu là số 10 cho biết có 10 hình tròn bằng nhau, tử số là 7 cho biết có 7 hình tròn được tô màu.

Hình 5: mẫu là số 6 cho biết hình này được chia thành 6 phần bằng nhau, tử số là 3 cho biết có 3 phần được tô màu.

Hình 6: mẫu là số 7 cho biết có 7 hình ngôi sao bằng nhau, tử số là 3 cho biết có 3 hình ngôi sao được tô màu.

Bài 2: Rút gọn các phân số: $\frac{12}{18}; \frac{4}{40}; \frac{18}{24};\frac{20}{35}; \frac{60}{12}$

Giải: 

$\frac{12}{18}=\frac{12:6}{18:6}=\frac{2}{3}$

$\frac{4}{40}=\frac{4:4}{40:4}=\frac{1}{10}$

$\frac{18}{24}=\frac{18:6}{24:6}=\frac{3}{4}$

$\frac{20}{35}=\frac{20:5}{35:5}=\frac{4}{7}$

$\frac{60}{12}=\frac{60:12}{12:12}=\frac{5}{1}=5$

Bài 3: Quy đồng mẫu số các phân số:

a) $\frac{4}{15}$ và $\frac{6}{45}$

MSC là 45 (45=15x3)

Ta có: $\frac{4}{15}=\frac{4x3}{15x3}=\frac{12}{45}; \frac{6}{45}$ giữ nguyên

Quy đồng 2 mẫu số trên ta được $\frac{12}{45}$ và $\frac{6}{45}$

b) $\frac{1}{2}; \frac{1}{5 };\frac{1}{3}$

MSC: 2x5x3=30

Ta có: $\frac{1}{2}=\frac{1x15}{2x15}=\frac{15}{30}; \frac{1}{5}= \frac{1x6}{5x6}=\frac{6}{30}; \frac{1}{3}=\frac{1x10}{3x10}=\frac{10}{30}$

Bài 4: Sắp xếp các phân số $\frac{1}{3};\frac{1}{6};\frac{5}{2};\frac{3}{2}$

Giải

Ta có $\frac{1}{6}$ và $\frac{1}{3}$ đều bé hơn 1;  $\frac{3}{2}$ và $\frac{5}{2}$đều lớn hơn 1

$\frac{1}{6 }<\frac{1}{3}$

$\frac{3}{2}<\frac{5}{2}$

Vậy sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn là: $\frac{1}{6};\frac{1}{3};\frac{3}{2};\frac{5}{2}$

----------------------------------

Hy vọng bài viết sẽ giúp ích cho các em học sinh trong quá trình tự học và ôn tập tại nhà.