Table of Contents
Dấu của tam thức bậc 2 là một khái niệm trong đại số, xác định sự biến thiên của hàm số bậc 2. Dựa vào dấu của hệ số a trong tam thức ax^2 + bx + c, ta có thể xác định đồ thị của hàm số là lồi lên trên hay lồi xuống dưới. Đây là một kiến thức quan trọng trong chương Bất đẳng thức - Bất phương trình toán lớp 10. Bài viết dưới đây, VOH Giáo dục sẽ giới thiệu đến các em học sinh lý thuyết dấu tam thức bậc 2 và một số bài tập toán áp dụng dấu của tam thức bậc 2 có lời giải chi tiết qua bài viết sau:
1. Định nghĩa tam thức bậc 2
Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức dạng
Nghiệm của phương trình
f (x) =
với
và
Ví dụ: Hãy cho biết có bao nhiêu tam thức bậc hai
- f (x) =
- f (x) =
- f (x) =
- f (x) =
Đáp án: 3 tam thức bậc hai
2. Định lý tam thức bậc 2
Cho f (x) =
kí hiệu x1, x2 là nghiệm của f (x) = 0 ta có
S =
P =
a. Định lý thuận về dấu của tam thức bậc hai
Ta có mẹo ghi nhớ “Trong trái, ngoài cùng” (nghĩa là trong khoảng hai nghiệm thì trái dấu với a, còn bên ngoài hai nghiệm thì cùng dấu với a)
- Với mọi x nằm trong khoảng hai nghiệm thì f (x) trái dấu với a
- Với mọi x nằm ngoài khoảng hai nghiệm thì f (x) cùng dấu với a
BẢNG XÉT DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI | |
Dấu của biệt thức | Dấu của f(x) |
- Cách xét dấu tam thức bậc 2:
- Bước 1: Tính
, bấm máy tính và tìm hai nghiệm của tam thức bậc hai - Bước 2: Dựa vào hệ số a và lập bảng xét dấu (trong trái ngoài cùng)
- Bước 3: Tiến hành xét dấu của bảng và đưa ra kết luận
b. Định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai
Cho f (x) =
Hệ quả
- a. f (x) < 0
- a. f (x) = 0
là nghiệm của f (x) - a. f (
) > 0 và
3. Một số bài toán áp dụng dấu của tam thức bậc hai
Bài toán 1: Cho tam thức bậc hai sau và tiến hành xét dấu:
f (x) =
ĐÁP ÁN
ta có
→ phương trình f (x) = 0 có hai nghiệm
Lập bảng xét dấu: “Trong trái ngoài cùng”
| x | 1 | ||||
| f(x) | + | 0 | - | 0 | + |
Như vậy:
f (x) < 0 → x
f (x) > 0 → x
Bài toán 2: Xét dấu tam thức bậc 2:
a)
b)
c)
d) (2x - 3)(x + 5)
ĐÁP ÁN
a) Tam thức f(x) =
Mà a = 5 > 0
Do đó f(x) > 0 với ∀ x ∈ R.
b) Tam thức f(x) =
Tam thức có hai nghiệm phân biệt
Ta có bảng xét dấu sau
x | - | -1 | + | ||
| f(x) | - | 0 | + | 0 | - |
Như vậy f(x) > 0 khi x ∈ (–1;
f(x) = 0 khi x = –1 ; x =
f(x) < 0 khi x ∈ (–∞; –1) ∪ (
c) Tam thức f(x) =
Ta có bảng xét dấu sau
x | -6 | ||
f (x) | + | 0 | + |
Như vậy f(x) > 0 với ∀ x ≠ –6
f(x) = 0 khi x = –6
d) f(x) = (2x – 3)(x + 5) =
Tam thức f(x) =
Ta có bảng xét dấu sau
x | -5 | ||||
f (x) | + | 0 | - | 0 | + |
Như vậy f(x) > 0 khi x ∈ (–∞; –5) ∪ (
f(x) = 0 khi x = –5 ; x =
f(x) < 0 khi x ∈ (–5;
Một số bài tập tự áp dụng để rèn luyện
Bài 1: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm: f (x) = m
ĐÁP ÁN
⇒ Đáp án: phương trình có hai nghiệm thoả mãn
Bài 2: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm: f (x) =
ĐÁP ÁN
⇒ Đáp án:
Bài 3: Tìm m sao cho f (x)= 2
ĐÁP ÁN
⇒ Đáp án: 1 -
Bài 4: Tìm m sao cho f (x)= (m-1)
ĐÁP ÁN
⇒ Đáp án:
Trên đây là những công thức dấu của tam thức bậc hai và một số bài tập ví dụ, đây là kiến thức vô cùng căn bản được học sau bài học cách giải phương trình bậc hai nằm trong chuyên đề về hàm số. Các em học sinh nên chăm chỉ thực hành mỗi ngày để nắm chắc các quy tắc nhé!