Đài tiếng nói nhân dân TPHCM
The Voice of Ho Chi Minh City People
  • Dấu của tam thức bậc hai - lý thuyết và dạng toán liên quan

    Tam thức bậc hai là một trong những kiến thức quan trọng của chương trình toán học lớp 10. Bài viết sẽ hướng dẫn cách xét dấu của tam thức bậc hai và một số dạng toán liên quan.

    Định nghĩa tam thức bậc hai

    Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức dạng ax2+bx+c trong đó a, b, c là những số cho trước với a khác 0

    Nghiệm của phương trình ax2+bx+c = 0 được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai.

    f (x) = ax2+bx+c 

    với =b2-4ac (biệt thức của tam thức bậc hai f(x) = ax2+bx+c

    '=b'2-ac (biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai f(x) = ax2+bx+c.

    Ví dụ: Hãy cho biết có bao nhiêu tam thức bậc hai

    1. f (x) = x2x-2
    2. f (x) = x2-4
    3. f (x) = x-3x-7
    4. f (x) = x-52

    Đáp án: 3 tam thức bậc hai

    Định lý tam thức bậc hai

    voh.com.vn-dau-cua-tam-thuc-bac-2-1

    Định lý tam thức bậc hai (Nguồn: Internet)

    Cho f (x) =  ax2+bx+c (a khác 0)

    kí hiệu x1, x2 là nghiệm của f (x) = 0 ta có

    S = x1+x2=-ba

    P = x1.x2=ca

    1. Định lý thuận về dấu của tam thức bậc hai

    Ta có mẹo ghi nhớ “Trong trái, ngoài cùng” (nghĩa là trong khoảng hai nghiệm thì trái dấu với a, còn bên ngoài hai nghiệm thì cùng dấu với a)

    <0a.fx>0 vi xR=0a.fx>0 vi x-ba hoc a.fx0 vixR>0 thì fx có 2 nghim:

    • Với mọi x nằm trong khoảng hai nghiệm thì f (x) trái dấu với a
    • Với mọi x nằm ngoài khoảng hai nghiệm thì f (x) cùng dấu với a

    BẢNG XÉT DẤU TAM THỨC BẬC HAI

    Dấu của biệt thức

    Dấu của f(x)

    <0

    afx>0, xR

    =0

    afx0, xR

    >0

    Phương trình fx=0 có 2 nghim x1<x2

    afx>0,x-; x1x2; +

    afx<0,xx1;x2

     

    • Cách xét dấu của tam thức bậc hai:

    Bước 1: Tính, bấm máy tính và tìm hai nghiệm của tam thức bậc hai

    Bước 2: Dựa vào hệ số a và lập bảng xét dấu (trong trái ngoài cùng)

    Bước 3: Tiến hành xét dấu của bảng và đưa ra kết luận

    fx=ax2+bx+c,a0

    <0

    afx>0,xR

    =0

    afx>0,xR-b2a

    >0

    afx>0,x-;x1x2;+

    afx<0,xx1;x2

     

    1. Định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai

    Cho f (x) =  ax2+bx+c (a khác 0). Nếu có số α thỏa mãn a. f (α) < 0 thì f (x) có hai nghiệm phân biệt x1, x2x1<α<x2

    Hệ quả

    1. a. f (x) < 0 >0 và x1<α<x2
    2. a. f (x) = 0 αlà nghiệm của f (x)
    3. a. f (α) > 0 và >0αx1;x2

    α<x1<x2 khiS2>α

    x1<x2<α khi S2<α

    Một số bài toán áp dụng

    Bài toán 1: Cho tam thức bậc hai sau và tiến hành xét dấu:

    f (x) = 3x2+2x-5

    ta có =b2-4ac=22-4.3.-5=27>0

    → phương trình f (x) = 0 có hai nghiệm

    x1=-53x2=1

    Lập bảng xét dấu: “Trong trái ngoài cùng”

    x--53 1+
    f(x)+0-0+

    Như vậy:

    f (x) < 0 → x -53;1

    f (x) > 0 → x -;-531;+

    Bài toán 2:  Xét dấu các tam thức bậc hai:

    a) 5x2-3x+1

    b) -2x2+3x+5

    c) x2+12x+36

    d) (2x - 3)(x + 5)

    Hướng dẫn

    a) Tam thức f(x) = 5x2-3x+1 có Δ = 9 – 20 = –11 < 0 nên f(x) cùng dấu với hệ số a.

    Mà a = 5 > 0

    Do đó f(x) > 0 với ∀ x ∈ R.

    b) Tam thức f(x) = -2x2+3x+5 có Δ = 9 + 40 = 49 > 0.

    Tam thức có hai nghiệm phân biệt x1=-1; x2=52, hệ số a = –2 < 0

    Ta có bảng xét dấu sau

    x

    -

    -1 52+
    f(x)-0+0-

    Như vậy f(x) > 0 khi x ∈ (–1; 52)

    f(x) = 0 khi x = –1 ; x = 52

    f(x) < 0 khi x ∈ (–∞; –1) ∪ (52; +∞)

    c) Tam thức f(x) = x2+12x+36 có một nghiệm là x = –6, hệ số a = 1 > 0.

    Ta có bảng xét dấu sau

     

    x

    --6+

    f (x)

    +0+

    Như vậy f(x) > 0 với ∀ x ≠ –6

    f(x) = 0 khi x = –6

    d) f(x) = (2x – 3)(x + 5) = 2x2+ 7x – 15

    Tam thức f(x) = 2x2 + 7x – 15 có hai nghiệm phân biệt x1=32; x2=-5, hệ số a = 2 > 0.

    Ta có bảng xét dấu sau

    x

    -

    -5 32+

    f (x)

    +

    0-0+

     

    Như vậy f(x) > 0 khi x ∈ (–∞; –5) ∪ (32; +∞)

    f(x) = 0 khi x = –5 ; x = 32

    f(x) < 0 khi x ∈ (–5; 32)

    Một số bài tập tự áp dụng để rèn luyện

    Bài 1: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm: f (x) = mx2+ (m – 1)x + 3 – 4m = 0 và thoả mãn x1<2<x2

    Đáp án: phương trình có hai nghiệm thoả mãn x1<2<x2-12 <m<0

    Bài 2: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm: f (x) = x2– 2mx + m = 0 và thoả mãn x1, x2 thuộc (-1;3)

    Đáp án: -13 <m<0 hoặc 1<m<95

    Bài 3: Tìm m sao cho f (x)= 2x2- 2(m + 1)x + 2m + 1 > 0 ∀x ∈ R

    Đáp án: 1 -  2 < m < 1 + 2

    Bài 4: Tìm m sao cho f (x)= (m-1)x2- (m - 1)x + 1- 2m ≤ 0 ∀x ∈ R

    Đáp án: 59m1

    Trên đây là những công thức dấu của tam thức bậc hai và một số bài tập ví dụ, đây là kiến thức vô cùng căn bản được học sau bài học cách giải phương trình bậc hai nằm trong chuyên đề về hàm số. Các bạn nên chăm chỉ thực hành mỗi ngày để nắm chắc các quy tắc nhé!

    Cách tìm điểm uốn đồ thị hàm số : Những kiến thức cơ bản cần nhớ về điểm uốn đồ thị hàm số. Kèm theo là những ví dụ chi tiết.
    Công thức tính tích phân và những điều bạn nhất định phải ghi nhớ : Công thức tính tích phân là phần kiến thức quan trọng. Ghi nhớ các công thức tính tích phân để giải toán dễ dàng hơn.

    CIE (Tổng hợp)