Bài 1: Vectơ Trong Không Gian

I. Định nghĩa và phép toán về vecto trong không gian

1. Định nghĩa

Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu chỉ vectơ có điểm đầu  , điểm cuối . Vectơ còn được kí hiệu là (SGK, trang 85)

Các khái niệm có liên quan đến vectơ như: giá của vectơ, độ dài của vectơ, sự cùng phương, hướng của 2 vectơ, sự bằng nhau của 2 vectơ… được định nghĩa tương tự như vectơ trong mặt phẳng. 

2. Phép cộng, trừ vecto trong không gian

Phép cộng và phép trừ 2 vecto trong không gian được định nghĩa tương tự như đối với 2 vectơ trong mặt phẳng. Ta vẫn có thể áp dụng qui tắc 3 điểm, qui tắc trung điểm, qui tắc hình bình hành,… để cộng và trừ các vectơ trong không gian giống như thực hiện các qui tắc này trong mặt phẳng. 

Ví dụ 1: Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trung điểm của Chứng minh rằng:

a)

b)

Giải:

a) Ta có:

b) Ta có:

Ví dụ 2:  (Qui tắc hình hộp: Trong một hình hộp, tổng của 3 vectơ cạnh cùng xuất phát từ 1 đỉnh bằng vectơ đường chéo có điểm gốc là đỉnh xuất phát đó)

Cho hình hộp Chứng minh rằng:

Giải:

Trong hình bình hành ta có:

Trong hình bình hành ta có:

Do đó:

3. Phép nhân một số thực với vectơ

Phép nhân vectơ với một số thực trong không gian được định nghĩa tương tự như phép nhân vectơ với một số thực trong mặt phẳng.

Ví dụ 3:  Trong hình bên ta thấy:

II. Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ 

1. Khái niệm về sự đồng phẳng của 3 vecto trong không gian

Trong không gian, cho 3 vectơ đều khác vectơ-không.

Ta nói chúng là 3 vectơ đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng nào đó.

Chú ý: Trong định nghĩa trên thì 3 vectơ sẽ đồng phẳng với nhau ngay cả khi giá của chúng không cùng nằm trong một mặt phẳng. 

Ví dụ 4: Trong hình hộp ta có các bộ 3 vectơ sau đây là đồng phẳng nhau:

2. Điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng

           Định lý 1: Trong không gian cho 2 vectơ không cùng phương và vectơ bất kì. Khi đó 3 vectơ  đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại cặp số sao cho . Ngoài ra cặp số là duy nhất.  (SGK, trang 89)

(Định lí 1 có thể được ghi nhớ như phát biểu sau: Nếu một vectơ được biểu thị theo 2 vectơ không cùng phương thì 3 vectơ ấy đồng phẳng và ngược lại.)

Áp dụng Định lí 1, ta có thể chứng minh một kết quả quan trọng trong ví dụ dưới đây.

Ví dụ 4:  

Trong không gian cho 3 vectơ bất kì. Chứng minh rằng nếu ta có đẳng thức: , trong đó một trong 3 số phải có ít nhất 1 số khác 0 thì 3 vectơ đã cho là 3 vectơ đồng phẳng.

Giải:

Thật vậy, giả sử ta có: Tức là vectơ được biểu thị qua 2 vectơ ; do đó 3 vectơ đã cho là 3 vectơ đồng phẳng.

          Định lý 2: Trong không gian cho 3 vectơ không đồng phẳng. Khi đó, với mọi vectơ ta đều tìm được một bộ 3 số sao cho  Ngoài ra, bộ 3 số này là duy nhất.

Nhận xét: Định lí 2 cho chúng ta một kết quả rất mạnh mẽ rằng:

“Trong không gian, ta cứ chọn một bộ gồm 3 vectơ không đồng phẳng bất kì, khi đó mọi vectơ khác đều có thể biểu thị được qua bộ 3 vectơ đó.”

---

Biên soạn: TRẦN THANH HẢI  (Trường THCS - THPT Nguyễn Khuyến)