Bài 2: Bất Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Một Ẩn

I. Khái niệm bất phương trình một ẩn

1. Bất phương trình một ẩn

Xét phương trình một ẩn . Khi thay dấu “ ” ở phương trình trên bởi các dấu “ ”, “ ”, “”, “ ” ta được các mệnh đề chứa biến “ ”, “ ”, “ ”, “ ” gọi là các bất phương trình một ẩn.

Dựa vào định nghĩa về phương trình một ẩn ở SGK trang , ta cũng có các định nghĩa tương tự đối với bất phương trình một ẩn. Cụ thể:

Chú ý: Bất phương trình (1) còn có thể được viết lại dưới dạng  . (SGK, trang )

Điều kiện của  để biểu thức  và  có nghĩa là điều kiện xác định (gọi tắt là điều kiện) của bất phương trình (1). (SGK, trang 81)

Ví dụ 1:  Cho bất phương trình .

a) Tìm điều kiện xác định của bất phương trình.

b) Kiểm tra  có phải là nghiệm của bất phương trình không?

c) Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm của nó lên trên trục số.

Giải:

a) Điều kiện xác định: .

(Do vế trái và vế phải của bất phương trình là các biểu thức nguyên nên luôn xác định trên tập )

b) Thay  vào bất phương trình thu được  (đúng).

Suy ra  là nghiệm của bất phương trình.

c) Bất phương trình tương đương với .

Vậy tập nghiệm  .

Biểu diễn trên trục số:

2. Bất phương trình chứa tham số

Ví dụ 2: Giải và biện luận theo tham số  bất phương trình   (1)

Giải:

Với  : bất phương trình trở thành  . Bất phương trình này vô nghiệm nên (1) vô nghiệm.

Với :

Với  

Kết luận:

•     .

•     .

•     .

II. Hệ bất phương trình một ẩn

Ví dụ 3:  Giải hệ bất phương trình

Giải:

Có thể trình bày theo hai cách như sau:

Cách 1:

Giải : .

Tập nghiệm của   là .

Giải : .

Tập nghiệm của  là  .

Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là .

Cách 2:

Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là  .

III. Một số phép biến đổi bất phương trình

1. Bất phương trình tương đương

Hai bất phương trình

 và

 tương đương với nhau thì ta viết

2. Phép biến đổi tương đương

Cho bất phương trình  có tập xác định , biểu thức  xác định trên  . Khi đó ta có một số phép biến đổi tương đương thường sử dụng là 

a. Phép cộng

Ví dụ 4:  Giải bất phương trình  

Phân tích: Bất phương trình đã cho xác định trên , biểu thức  cũng xác định trên .
Cộng hai vế của bất phương trình với  (chuyển vế và đổi dấu các hạng tử) để đưa về bất phương trình đã biết cách giải.

Giải:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là .

b. Phép nhân

Ví dụ 5: Giải bất phương trình

Phân tích: Bất phương trình xác định trên . Biểu thức .

Nhân hai vế của bất phương trình với  ta được bất phương trình tương đương.

Giải:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là  .

c. Phép bình phương

Ví dụ 6:  Giải bất phương trình

Phân tích: Có  

Hai vế của bất phương trình dương nên khi bình phương hai vế ta được bất phương trình tương đương.

Giải:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là .

d. Phép lập phương

Ví dụ 7:  Giải bất phương trình  

Giải:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là  .

Chú ý:

Ví dụ 8: Giải bất phương trình

Phân tích: 

Điều kiện xác định:

Với điều kiện  thì  nên nhân cả hai vế của bất phương trình với  ta được bất phương trình mới tương đương. Giải bất phương trình mới và kết hợp với điều kiện  để tìm nghiệm của bất phương trình ban đầu.

Giải:

Điều kiện:

(Với )   

Kết hợp với điều kiện   suy ra tập nghiệm của bất phương trình là  .

Ví dụ 9:  Hai bất phương trình  và  có tương đương với nhau hay không?

Phân tích:

* Bất phương trình  xác định trên .

Cộng hai vế của   với  (cũng xác định trên ) ta được bất phương trình tương đương.

Giải bất phương trình mới và kết hợp với điều kiện để suy ra tập nghiệm của .

* Bất phương trình  xác định trên  .

Giải bất phương trình (2) và so sánh với tập nghiệm của bất phương trình

Giải:

Cách 1:

Giải   Điều kiện:

Kết hợp với điều kiện  suy ra tập nghiệm của bất phương trình  là .

Giải    

Vậy tập nghiệm của bất phương trình  là

Vì  nên hai bất phương trình không tương đương.

Cách 2:

(Chỉ ra một giá trị  là nghiệm của bất phương trình (2) nhưng không là nghiệm của bất phương trình  ).

Với ,  trở thành  (đúng).

Suy ra  là nghiệm của .

Bất phương trình  xác định trên  .

Vì     nên   không là nghiệm của .

Vậy hai bất phương trình không tương đương.

Cách 3:

Giải    

Vậy tập nghiệm của bất phương trình   là

Xét điều kiện của phương trình

Ta có:

Như vậy nghiệm của (1) nếu có sẽ là .

Mà   nên .

Do đó hai phương trình không thể tương đương.

Bài tập luyện tập bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn của trường Nguyễn Khuyến

Bài 1. Giải và biện luận theo tham số  bất phương trình .

Bài 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số  để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi .
    .

Bài 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số   để hệ bất phương trình sau có nghiệm.
    . 

Giáo viên biên soạn: Thiều Thị Hoa (Trường THCS - THPT Nguyễn Khuyến BD)