Bài 3: Giá Trị Lớn Nhất, Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số

1. Định nghĩa

Cho hàm số  xác định trên tập .

a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số  trên  

nếu

Kí hiệu:  

b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất  của hàm số  trên  

nếu  

Kí hiệu:  

Ví dụ 1:

Cho hàm số  trên khoảng  có bảng biến thiên:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số  trên khoảng  là  

Không có giá trị  lớn nhất trên  

2. Cách tính GTLN - GTNN của hàm số trên một đoạn

2.1. Định lý

Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên một đoạn đó.D

2.2. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn

Quy tắc:

+ Tìm các điểm  trên khoảng  , tại đó  bằng 0 hoặc không xác định.

+ Tính  .

+ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.

Ta có:  

Ví dụ 2:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

Giải: Hàm số liên tục trên  

Ta có ;

.

Do đó .

Ví dụ 3:

Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh a. Người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau, rồi gập tấm nhôm lại thành một cái hộp không nắp. Tính cạnh của các hình vuông

bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất.

2.3. Chú ý

a) Nếu hàm số đồng biến trên đoạn [a; b] thì:  

b) Nếu hàm số nghịch biến trên đoạn [a; b] thì

c) Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không tồn tại GTLN, GTNN trên khoảng đó.

3. Bài luyện tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trường THPT Ninh Giang

BÀI 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số   trên đoạn  

BÀI 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số  trên  

BÀI 3. Khi xây dựng nhà, chủ nhà cần làm một bể nước bằng gạnh có dạng hình hộp có đáy là hình chữ nhật chiều dài   và chiều rộng  với  . Chiều cao bể

nước là   và thể tích bể là . Hỏi chiều cao bể nước như thế nào thì chi phí xây dựng là thấp nhất ?

BÀI 4. Cho các số thực dương   thỏa mãn   Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức  

BÀI 5. Cho các số thực   thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .

BÀI 6. Một đại lý xăng dầu cần xây một bồn chứa dầu hình trụ có nắp có đáy hình tròn bằng thép có thể tích   và giá mỗi mét vuông thép là   ngàn đồng. Hỏi giá

tiền thấp nhất mà đại lý phải trả gần đúng với số tiền nào nhất ?

BÀI 7. Tìm tất cả các giá trị của   để giá trị nhỏ nhất của hàm số  trên đoạn  bằng .

Biên soạn: GV. Lưu Thị Liên - THPT Ninh Giang