Đài tiếng nói nhân dân TPHCM
The Voice of Ho Chi Minh City People
  • Cách tìm điểm uốn đồ thị hàm số

    Những kiến thức cơ bản cần nhớ về điểm uốn đồ thị hàm số. Kèm theo là những ví dụ chi tiết.

    Trong những kiến thức liên quan đến đồ thị hàm số, điểm uốn là một trong những dạng bài tập cơ bản nhất. Điểm uốn là gì? Cách tìm như thế nào? Bài viết ngay sau đây sẽ giải đáp những thắc mắc ấy.

    Điểm uốn của đồ thị hàm số là gì?

    Điểm uốn của đồ thị là điểm mà tại đó đạo hàm cấp hai bằng 0 và đổi dấu.

    Điểm U(x0;f(x0)) được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa điểm x0 sao cho trên một trong hai khoảng (a;x0) và (x0;b) tiếp tuyến của đồ thị tại điểm U nằm phía trên đồ thị và trên khoảng kia tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị.

    Điểm U là điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x)

    Ví dụ xét hàm y = x4 + x +1

    y′′ = 12x2;  y′′= 0 ⇔ x = 0 nhưng điểm (0;1) không phải là điểm uốn vì y′′ > 0, ∀x≠0

    Định lý: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên một khoảng chứa điểm x0, f”(x0) = 0 và f”(x) đổi dấu khi x qua điểm x0 thì điểm U(x0;f(x0)) là một điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x).

    Phương pháp tìm điểm uốn của đồ thị hàm số

    Vấn đề 1: Tìm điểm uốn của đồ thị (C) của hàm số y =f(x).

    • Bước 1: Tìm điểm uốn của đồ thị (C) của hàm số y = f(x).
    • Bước 2: Tìm tập xác định.
    • Bước 3: Tìm y′ và y”.
    • Bước 4: Xét dấu y” và kết luận theo định lí trên.

    Vấn đề 2: Chứng minh đồ thị có 3 điểm uốn thẳng hàng.

    Tìm y” và chứng tỏ phương trình y”= 0 có 3 nghiệm (đơn) phân biệt.

    Suy ra đồ thị có 3 điểm uốn A, B và C.

    Chứng minh vecto AB và AC cùng phương, suy ra A, B, C thẳng hàng.

    Chú ý nếu phương trình y” = 0 không xác định được nghiệm cụ thể thì ta chứng minh A, B, C thẳng hàng như sau:

    Tọa độ A, B, C thỏa: y” = 0 và y = f(x).

    Từ đó suy ra x, y thỏa phương trình y = ax + b.

    Từ đó, A, B, C cùng thuộc đường thẳng có phương trình y = ax + b.

    Vấn đề 3: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị có điểm uốn thỏa mãn điều kiện cho trước.

    • Tìm y′, y”.
    • Tìm điểm uốn của đồ thị hàm số.
    • Đặt điều kiện để điểm uốn thỏa mãn điều kiện cho trước, từ đó suy ra giá trị của tham số.

    Bài toán áp dụng

    Ví dụ 1: Tìm điểm uốn của đồ thị hàm số: y = x3 – 3x2 + 3

    Tập xác định:

    D = R.

    y′ = 3x2 – 6x.

    y” = 6x – 6.

    y” = 0

    ⇔ x =1

    ⇒ y = 1.

    Bảng xét dấu:

    x

    -∞  

    1+∞

    y’’

    -

    0+

    Đồ thị

     

    Điểm uốn (1;1) 

    Vậy đồ thị có một điểm uốn là U(1;1).

    Ví dụ 2: Tìm điểm uốn của đồ thị hàm số: y = 3x5 – 5x4 + 3x + 1

    Tập xác định: D = R.

    y′ = 15x4 – 20x3 + 3.

    y” = 60x3 – 60x2= 60x2(x–1).

    y” = 0 ⇔ x = 0 ⇒ y = 1 hoặc x = 1 ⇒ y = 2.

    Bảng xét dấu

    x

    -∞  

    0 1+∞

    y’’

    -

    0-0+

    Đồ thị

     

      Điểm uốn (1;2) 


    Kiến thức về điểm uốn của đồ thị hàm số vô cùng quan trọng và cần thiết. Đây cũng thường là dạng bài tập chiếm số điểm khá cao trong các bài kiểm tra, bài thi môn Toán. Hy vọng bài viết này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích.Vậy đồ thị có một điểm uốn là U(1;2).

    Cách giải bài toán phương trình lượng giác đơn giản: Dù bạn đang đi học hay đã đang đi làm thì cũng hay ôn tập lại kiến thức về phương trình lượng giác qua bài viết này nhé!
    Những điều thú vị xoay quanh phương trình E=mC2 của thiên tài Albert Einstein: Bạn biết gì về phương trình về sự tương đương giữa khối lượng và năng lượng? Nó có nguồn gốc từ đâu và được ứng dụng như thế nào trong cuộc sống?

    Phan Nguyễn (Tổng hợp)