Tính đồng biến nghịch biến của hàm số & các dạng bài tập ứng dụng

Xét về tri thức hàm số, ta được học từ THCS khi đó nội dung chỉ xoay quanh biểu diễn đồ thị hàm số lên trục Oxy. Cụ thể hơn ở lớp 7 và 9, khái niệm về hàm số đồng biến nghịch biến chỉ được nhắc đến như kết luận về sự biến thiên của đồ thị hàm đường thẳng và parabol trên khoảng đang xét. Ở bài học này, chúng ta sẽ gặp các hàm số có sự biến thiên phức tạp. Nhiệm vụ của bài học là chỉ ra tính đồng biến nghịch biến của hàm số và các khoảng biến thiên từ đó đưa ra kết luận về các khoảng biến thiên của hàm số.

Ngoài ra, một số các điều kiện xác định cần lưu ý cũng được nhắc đến ở cuối bài viết. Hầu hết sau khi học xong chuyên đề này các bạn thường bỏ quên việc tìm điều kiện cho hàm. Hàm phải xác định trên khoảng K nào đó thì mới xét đến sự biến thiên của hàm trên khoảng K đó.

1. Ôn lại kiến thức về hàm số đồng biến nghịch biến cơ bản

Xét hàm số xác định trên K (với K là một khoảng hoặc một đoạn hoặc nửa khoảng).

Trong đó:

• y được gọi là hàm số

• x được gọi là biến số

Với mỗi giá trị của x ta có thể tính được giá trị tương ứng của y và ngược lại.

Một hàm số có giá trị không đổi với mọi biến số ta gọi đó là hàm hằng.

Nhận thấy sự biến đổi của y hoàn toàn phụ thuộc vào x, từ đó ta hình thành hai khái niệm về sự biến thiên của hàm số như sau:

∗ Hàm số đồng biến

 Hàm số là hàm số đồng biến 

∗ Hàm số nghịch biến

 Hàm số là hàm số nghịch biến

2. Tính đồng biến nghịch biến của hàm số về ý nghĩa đồ thị hàm số

∗ Hàm số đồng biến

xét trên miền trong hệ trục tọa độ Oxy đồ thị biểu diễn hàm số đi lên theo hướng tứ trái sang phải

⇔ Hàm số đồng biến trên

∗ Hàm số nghịch biến:

xét trên miền trong hệ trục tọa độ Oxy đồ thị biểu diễn hàm số đi xuống theo hướng tứ trái sang phải

⇔ Hàm số nghịch biến trên

3. Tính đồng biến nghịch biến của hàm số về mối liên hệ với dấu của đạo hàm

∗ Hàm số đồng biến

hoặc mang dấu dương (+)

⇔ Hàm số đồng biến trên

∗ Hàm số nghịch biến

hoặc mang dấu âm (-)

⇔ Hàm số nghịch biến trên

Lưu ý: Một cách dễ hiểu với mọi hàm số có đạo hàm được viết dưới dạng mà biểu thức có chứa biến số thì

   Hàm số đồng biến trên

   Hàm số nghịch biến trên

4. Lập bảng biến thiên để xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số

4.1. Quy tắc lập bảng biến thiên của hàm số

- Tìm tập xác định của hàm số

- Tính   , sau đó giải phương trình   , đồng thời xác định các giá trị biến số làm hàm số không xác định (chỉ xuất hiện ở hàm phân thức).

- Kẻ bảng biến thiên, sau đó điền các giá trị của biến số thu được ở bước trên theo thứ tự tăng dần.

- Xét dấu   bằng cách chọn các giá trị tương ứng ở mỗi khoảng x thay vào hàm

- Dựa vào dấu của   ở các khoảng trên miền giá trị của x để kết luận về sự biến thiên của
 

4.2. Nhận xét về các khoảng biến thiên của hàm số

Hàm số đồng biến trên các khoảng và

Hàm số nghịch biến trên các khoảng và và

Ví dụ: Xét hàm số .

Tập xác định D = .

Ta có:

Bảng biến thiên:

Kết luận:

Hàm số đồng biến trên khoảng và

Hàm số nghịch biến trên khoảng

5. Các dạng bài tập về tính đồng biến nghịch biến của hàm số

*Phương pháp giải:

Vận dụng cơ sở lý thuyết được đề cập ở các mục 1. 2. 3. 4.

5.1. Dạng 1: Hàm số y = f(x) xác định cho trước

Ví dụ 1: Cho hàm số . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Hàm số đồng biến trên khoảng .

Hàm số nghịch biến trên khoảng và .

Hàm số nghịch biến trên khoảng và .

Hàm số đồng biến trên khoảng .

Ví dụ 2: Hàm số đồng biến trên:

A. và .                                                

B. và .

C. và .  

D. và .

5.2. Dạng 2: Hàm số y = f(x) có bảng biến thiên cho trước

Ví dụ 3: Cho hàm số có bảng biến thiên cho trước

Hỏi hàm số trên đồng biến trên các khoảng nào sau đây?

A.

B.

C.

D. và

Ví dụ 4: Cho hàm số có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng .

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng .

5.3. Dạng 3: Hàm số có đồ thị cho trước

Ví dụ 5: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Chọn khẳng định đúng 

A. Hàm số đồng biến trên các khoảng và  và

B. Hàm số nghịch biến trên R

C. Hàm số đồng biến trên R

D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng và và

Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số là một trong các tính chất hết sức quan trọng, các dạng bài tập xoay quanh chủ đề này thường xuyên sức hiện trong các kì thi trong trường cũng như thi THPT Quốc Gia. Kiến thức về tính đồng biến và nghịch biến thường được sử dụng như một công cụ khảo sát hàm, áp dụng vào các dạng bài tập vận dụng cao. Trong chuyên đề lần này, nội dung lý thuyết đã cô đọng và tập trung vào các dạng toán nhất định, đặc biệt các em nên chú trọng vào việc tìm tập xác định phụ hợp cho hàm số, ngoài ra việc đạo hàm và xét dấu hàm số cũng là điều đặc biệt lưu ý. Một số ví dụ thường gặp sau đây sẽ củng cố cho các em kiến thức để lưu ý về điều kiện xác định:

có nghĩa khi

có nghĩa khi

có nghĩa khi

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang