Table of Contents
Dựa vào tính biến thiên của hàm số, chúng ta có thể biết được giá trị của hàm mà tại đó hàm số là giao nhau của đồng biến và nghịch biến. Khái niệm đó sẽ được mô tả chi tiết thông qua chủ đề tìm cực trị của hàm số.
1. Tìm cực trị của hàm số
1.1. Cực đại của hàm số
Xét hàm số y = f(x)
• Nếu
Thì ta có:
• x0 là điểm cực đại của hàm số.
• f(x0) là giá trị cực đại của hàm số.
• M(x0; f (x0)) là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
1.2. Cực tiểu của hàm số
Xét hàm số y = f(x)
• Nếu
Thì ta có:
• x0 là điểm cực tiểu của hàm số
• f(x0) là giá trị cực tiểu của hàm số
• M(x0; f (x0)) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
∗ Nhận xét: Để tìm cực trị của hàm số y = f(x) ta khảo sát hàm số theo quy tắc lập bảng biến thiên.
2. Tìm cực trị của hàm số dựa vào bảng biến thiên
Xét hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
Xét khoảng
Do đó f(x1) là giá trị cực đại của hàm số và M (x1; f(x1)) là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
∗ Nhận xét:
• x0 là điểm cực đại của hàm số nếu tại x0 hàm số có chiều biến thiên đi từ đồng biến sang nghịch biến;
x0 là điểm cực tiểu của hàm số nếu tại x0 hàm số có chiều biến thiên đi từ nghịch biến sang đồng biến.
• Số điểm cực trị của hàm số y = f(x) là số nghiệm đơn bội lẻ của hàm số y = f '(x) ( hay còn được biết đến là số lần đổi dấu của hàm số y = f '(x) ).
• Tại điểm cực trị, hàm số y = f '(x) có thể không xác định nhưng y = f(x) phải liên tục.
3. Điều kiện hàm số bậc ba để tìm cực trị thỏa tính chất
Xét hàm số f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
⇒ f '(x) = 3ax2 + 2bx + c
⇒
∗ Hàm số không có cực trị: b2 - 3ac ≤ 0
∗ Hàm số có hai cực trị: b2 - 3ac > 0
∗ Hàm số có 2 cực trị trái dấu
- Phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu ⇔ ac < 0
∗ Hàm số có hai cực trị cùng dấu
- Phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu ⇔
∗ Hàm số có cực trị cùng dấu dương
- Phương trình y' = 0 có hai nghiệm dương phân biệt ⇔
∗ Hàm số có hai cực trị cùng dấu âm
- Phương trình y' = 0 có hai nghiệm âm phân biệt ⇔
∗ Hai cực trị x1 , x2 thỏa mãn x1 < a < x2
⇔ (x1 - a)(x2 - a) < 0 ⇔ x1x2 - a (x1 + x2) + a2 < 0
∗ Hai cực trị x1 , x2 thỏa mãn x1 < x2 < a
⇔
∗ Hai cực trị x1 , x2 thỏa mãn a < x1 < x2
⇔
Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng khi có 1 nghiệm là x =
∗ Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân khi có 1 nghiệm là x =
4. Điều kiện hàm số bậc bốn trùng phương để tìm cực trị thỏa tính chất
Xét hàm số f(x) = ax4 + bx2 + c ( a
∗ Hàm số có một cực trị ⇔ ab
∗ Hàm số có ba cực trị ⇔ ab < 0
∗ Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực tiểu ⇔
∗ Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực đại ⇔
Hàm số có đúng hai cực tiểu và một cực đại ⇔
∗ Hàm số có một cực tiểu và hai cực đại ⇔
» Xem thêm: Tổng hợp các dạng toán tìm cực trị của hàm số chi tiết, dễ hiểu
5. Bài tập tìm cực trị của hàm số
Bài 1: Hàm số y = x3 - 3x2 + 3x - 4 có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 1
B. 0
C. 2
D. 3
ĐÁP ÁN
• Phương pháp
Hàm đa thức có số điểm cực trị là số nghiệm của phương trình y ' = 0 và qua nghiệm đó y ’ đổi dấu.
• Cách giải
Ta có: y = x3 - 3x2 + 3x - 4 ⇒ y ' = 3x2 - 6x +3 = 3( x - 1)2 ≥ 0; ∀x ∈ R
Suy ra hàm số đã cho đồng biến trên R hay không có điểm cực trị.
→ Chọn câu B
Bài 2: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm:
A. x = 0
B. x = 2
C. x = 1
D. x = 5
ĐÁP ÁN
• Phương pháp
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = x0 ⇔ y '(x0) = 0 và qua x0 thì y’ đổi dấu từ âm sang dương.
• Cách giải
Dựa vào bảng biến thiên ta dễ thấy x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x)
→ Chọn câu A
Bài 3: Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) =
A. 2
B. 1
C. 3
D. 4
ĐÁP ÁN
• Phương pháp
Tìm nghiệm của F '(x) = 0 và xét dấu F '(x).
• Cách giải
Ta có: F '(x) = f(x) =
Ta thấy F '(x) đổi dấu qua ba nghiệm nên hàm số có 3 điểm cực trị.
→ Chọn câu C
Bài 4: Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x4 - 2mx2 + 3 có 3 cực trị là:
A. m < 0
B. m ≤ 0
C. m > 0
D. m ≥ 0
ĐÁP ÁN
• Phương Pháp
Điều kiện để hàm bậc bốn trùng phương y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) có 3 cực trị là
• Cách giải
Để hàm số y = x4 - 2mx2 + 3 có 3 cực trị ⇔
→ Chọn câu C
Bài 5: Tìm tất cả những giá trị thực của m để hàm số
y = x3 - (2m -1) x2 + (2m2 - 3m + 1)x - 2m2 + 5m - 3 có cực đại, cực tiểu và các giá trị cực trái dấu.
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
• Phương pháp
Áp dụng lý thuyết về cực trị của hàm bậc ba.
• Cách giải
Ta có: y ' = 3x2 - 2(2m -1) x + (2m2 - 3m + 1) và
Hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ -2m2 + 5m - 2 > 0 ⇔
Và y =
Khi đó các giá trị cực trị trái dấu
⇔ y cực đại. y cực tiểu < 0 ⇔
Áp dụng định lý Vi-et, giải và đối chiếu ta được m ∈
→ Chọn câu C.
Bài 6: Giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x4 - 2mx2 + m4 + 2m có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có diện tích bằng
A. m > 4
B. m < -3
C. -3 < m < 0
D. 0 < m < 4
ĐÁP ÁN
• Phương pháp
- Giải phương trình y ' = 0 tìm các điểm cực trị.
- Tính diện tích tam giác tại bởi các điểm cực trị.
• Cách giải
- Tập xác định: D = R
- Đồ thị hàm số có ba cực trị thì phương trình y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ m > 0
- Khi đó gọi ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là
- Ta có tam giác ABC cân tại A có
→ Chọn câu D.
Như vậy chủ đề tìm cực trị của hàm số cho ta một phương pháp giải và chỉ ra các điểm cực trị cũng như giá trị cực trị tại đó. Ngoài ra ta cần lưu ý kĩ nội dung về cực trị hàm bậc 3 và hàm bậc 4 trùng phương.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang