Tam thức bậc hai là gì? Khái niệm & bài tập vận dụng (có đáp án)

Tam thức bậc hai là một nội dung quan trọng, được đề cập nhiều trong chương trình môn Toán lớp 10. Vậy, tam thức bậc hai là gì? Làm sao để xét dấu tam thức bậc hai? Có thể vận dụng lý thuyết vào xử lý các dạng bài tập liên quan đến tam thức bậc hai như thế nào? Để có thể trả lời cho những câu hỏi vừa nêu, chúng ta hãy cùng đi vào tìm hiểu nội dung chi tiết của bài viết sau đây.

1. Tam thức bậc hai là gì?

+ Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng ax² + bx + c, trong đó: a, b, c là những số thực đã biết và a 0.

Ví dụ: Biểu thức f(x) = 2x² - 3x + 1 là một tam thức bậc hai đối với x có các hệ số: a = 2; b = - 3; c = 1.

+ Tam thức bậc hai ax² + bx + c có biệt thức = b² - 4ac.

+ Nghiệm của tam thức bậc hai ax² + bx + c chính là nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0.

Ví dụ: Tìm nghiệm của tam thức bậc hai f(x) = 2x² - 3x + 1.

Giải

Phương trình 2x² - 3x + 1 = 0 có các hệ số a = 2; b = - 3; c = 1.

Mà a + b + c = 0 nên phương trình có hai nghiệm là: x₁ = 1 và x₂ = .

Vậy, tam thức bậc hai f(x) = 2x² - 3x + 1 có hai nghiệm là: x₁ = 1 và x₂ = .

» Xem thêm: Dấu của tam thức bậc hai - Lý thuyết và dạng bài tập toán liên quan

2. Định lý tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c với a 0.

Tam thức bậc hai có biệt thức = b² - 4ac.

+ Nếu < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x R.

+ Nếu = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x .

+ Nếu > 0 thì f(x) có hai nghiệm phân biệt là x₁ và x₂ (giả sử x₁ < x₂)

• f(x) trái dấu với hệ số a khi x₁ < x < x₂.
• f(x) cùng dấu với hệ số a khi x < x₁ và x > x₂.

Ví dụ: Xét dấu của tam thức bậc hai f(x) = 2x² - 3x + 1

Giải

+ Phương trình 2x² - 3x + 1 = 0 có a + b + c = 2 + (- 3) + 1 = 0 nên có hai nghiệm là x₁ = 1 và x₂ = .

Do đó, tam thức bậc hai f(x) = 2x² - 3x + 1 có hai nghiệm là x₁ = 1 và x₂ = . Ngoài ra, tam thức bậc hai f(x) có hệ số a = 2 > 0.

+ Lập bảng xét dấu:

Vậy, f(x) > 0 khi x   và f(x) < 0 khi x .

3. Bài tập tam thức bậc hai lớp 10

3.1. Bài tập tự luận

Bài 1: Cho tam thức bậc hai f(x) = - x² - 4x - 3. Hãy cho biết tam thức bậc hai f(x) > 0 khi nào?

Bài 2: Cho tam thức bậc hai f(x) = - 2x² + 4x - m. Với giá trị nào của tham số m thì tam thức bậc hai f(x) < 0?

3.2. Câu hỏi trắc nghiệm

Bài 3: Cho tam thức bậc hai f(x) = 3x² - x - 1. Lúc này, tổng các hệ số của tam thức bậc hai này là:

1. a + b + c = 5
2. a + b + c = 3
3. a + b + c = 1
4. Cả A, B, C đều sai

Bài 4: Trong các kết luận sau đây, kết luận đúng về nghiệm của tam thức bậc hai f(x) = x² - 2x + 2 là:

1. Tam thức bậc hai đã cho có nghiệm kép.
2. Tam thức bậc hai đã cho vô nghiệm.
3. Tam thức bậc hai đã cho có hai nghiệm phân biệt.
4. Tam thức bậc hai đã cho có vô số nghiệm.

Bài 5: Cho tam thức bậc hai f(x) = x² - 10x + 25. Trong các phát biểu sau đây, phát biểu đúng là:

1. f(x) < 0 với mọi x 5.
2. f(x) > 0 với mọi x 5.
3. f(x) > 0 với mọi x R.
4. f(x) < 0 với mọi x R.

Bài 6: Cho tam thức bậc hai g(x) = 3x² - m. Với giá trị nào của tham số m thì tam thức bậc hai g(x) > 0?

1. m > 0 hoặc m < 0.
2. m > 0.
3. m < 0.
4. Cả A, B, C đều sai.

Hy vọng qua bài viết "Tam thức bậc hai là gì? Khái niệm & bài tập vận dụng (có đáp án)", bạn đã nắm vững khái niệm và cách giải tam thức bậc hai. Để trở nên thành thạo về chủ đề này, hãy tiếp tục ôn tập và giải nhiều bài tập để củng cố kỹ năng. Nếu cần hỗ trợ thêm, hãy luôn tìm đến VOH Giáo Dục nguồn kiến thức đáng tin cậy và những giải thích chi tiết để xây dựng nền tảng vững chắc trong toán học.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang