Tập nghiệm của bất phương trình: Cách xác định và tính toán

Bất phương trình là một nội dung quan trọng được đề cập đến nhiều trong chương trình môn Toán lớp 10 phần Đại số. Bài viết sau đây nhằm giới thiệu cách biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình cùng một số ví dụ và bài tập liên quan. Để hiểu rõ hơn, chúng ta hãy cùng đi vào tìm hiểu bài viết sau đây.

1. Thế nào là bất phương trình?

Bất phương trình một ẩn là một mệnh đề chứa biến có các dạng sau đây:

• f(x) > g(x)
• f(x)  < g(x)
• f(x) g(x)
• f(x) g(x)

Ví dụ: -3x - 3 < x + 1 là một bất phương trình một ẩn

2. Tập nghiệm của bất phương trình

+ Tập nghiệm của bất phương trình là tập hợp tất cả các nghiệm của một bất phương trình.

+ Để tìm được tập nghiệm của bất phương trình ta phải đi giải bất phương trình đó.

+ Khi giải bất phương trình để xác định tập nghiệm của bất phương trình ta phải tuân thủ theo một số quy tắc:

• Chuyển vế đổi dấu
• Khi nhân hoặc chia cả hai vế của bất phương trình cho một số dương, chiều của bất phương trình không thay đổi. Khi nhân hoặc chia cả hai vế của bất phương trình cho một số âm, chiều của bất phương trình bị đảo ngược.

Ví dụ: Tìm tập nghiệm của bất phương trình:  2x - 4 < 0

Giải

Ta có: 2x - 4 < 0

2x < 4

x < 2

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình:  2x - 4 < 0 là những giá trị của x thỏa mãn x < 2

3. Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình

3.1. Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình bằng tập hợp

Ví dụ: Để biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình x > -5 ta có thể viết:

S = { x | x > -5 } hoặc S = (-5; +)

3.2. Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình bằng hình vẽ

Ví dụ: Để biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình x > -5 ta sử dụng hình vẽ:

Ví dụ: Để biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình x < -5 ta sử dụng hình vẽ:

Ví dụ: Để biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình x -5 ta sử dụng hình vẽ:

Ví dụ: Để biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình x -5 ta sử dụng hình vẽ:

4. Cách tìm tập nghiệm của bất phương trình

4.1. Tìm tập nghiệm của bất phương trình đưa về dạng ax + b < 0

Ví dụ: Cho bất phương trình:  3x + 4 < x + 10. Hãy biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình đã cho bằng hình vẽ và bằng tập hợp

Giải

Ta có:  3x + 4 < x + 10

3x - x < 10 - 4

2x < 6

x < 3

• Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình bằng tập hợp:

S = { x | x < 3 } hoặc S = (- ; 3)

• Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình bằng hình vẽ:

4.2. Tìm tập nghiệm của bất phương trình tích

Ví dụ: Tìm tập nghiệm của bất phương trình:  3(x - 5) > x² - 25

Giải

Ta có: 3(x - 5) > (x - 5)(x + 5)

3(x - 5) - (x - 5)(x + 5) > 0

 (x - 5)(3 - x - 5) > 0

 (x - 5)(- x - 2) > 0

+ Lập bảng xét dấu:

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là:  S = { x | - 2 < x < 5 }

4.3. Tìm tập nghiệm của bất phương trình chứa ẩn ở mẫu

Ví dụ: Tìm tập nghiệm của bất phương trình:   < 0

Giải

+ Lập bảng xét dấu:

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là: S = (-1; 2)

5. Bài tập áp dụng về tập nghiệm của bất phương trình

Bài 1: Cho hình vẽ:

Hãy cho biết hình vẽ trên biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào?

1. 7x + 5 < 5x + 7
2. - 6x + 2 > - 7 - 3x
3. 2(x + 2) < 4
4. 3x + 3 > x + 9

Bài 2: Cho bất phương trình:  . Tập nghiệm của bất phương trình này là:

1. S = { x | x < -3 }
2. S = { x | x < 3 }
3. S = { x | x > 3 }
4. S = { x | x > -3 }

Bài 3: Trong các phát biểu sau, phát biểu đúng là:

1. Các bất phương trình khác nhau luôn có tập nghiệm khác nhau
2. Tập nghiệm của bất phương trình là tập hợp tất cả các nghiệm của một bất phương trình
3. Không có trường hợp bất phương trình vô nghiệm
4. Mọi bất phương trình đều có vô số nghiệm thỏa mãn

Bài 4: Tập nghiệm của bất phương trình:   (x - 2)(10 - 2x)(x + 3) < 0 là:

1. S = (-3; 2)
2. S = (-3; 2) (5; +)
3. S = (2; 5)
4. S = (- ; -3) (2; 5)

Bài 5: Cho các bất phương trình: 5(x + 3) - 2(x -12) < 0    (1)  và  -6(x - 2) > 2x + 28    (2)

Trong các phát biểu sau, phát biểu sai là:

1. S = { x | x < -2 } là tập nghiệm của bất phương trình (2)
2. S = { x | x < -13 } là tập nghiệm của bất phương trình (1)
3. Cả A, B đều sai
4. Cả A, B đều đúng

Bài 6: Khi nhìn vào tập nghiệm S = { x | x 5 } của một bất phương trình cho trước, ta biết:

1. Bất phương trình vô nghiệm khi giá trị của x lớn hơn 5
2. Bất phương trình có nghiệm khi giá trị của x bé hơn 5
3. Bất phương trình có vô số nghiệm khi giá trị của x lớn hơn hoặc bằng 5
4. Bất phương trình vô nghiệm khi giá trị của x bé hơn hoặc bằng 5

Mong rằng thông qua bài viết, các em có thể nắm được cách biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình và vận dụng kiến thức đã được lĩnh hội vào việc giải quyết nhiều bài tập liên quan hơn nữa.

 Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang