Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng chi tiết, đầy đủ

Cấp số cộng là một trong nội dung mới đối với các bạn học sinh lớp 11. Cấp số cộng là nội dung quan trọng và xuất hiện nhiều trong đề thi và cả đề thi THPT quốc gia. Cấp số cộng là gì? Các bạn đã được học ở tiết trước. Trong bài này, chúng ta cùng hiểu về nội dung tiếp theo: Số hạng tổng quát của cấp số cộng.

1. Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng

Số hạng tổng quát:

 v_n = v₁ + (n-1).d (với n ≥ 2)

trong đó: v_n là số hạng thứ n của cấp số cộng

     v₁ là số hạng thứ nhất (hay số hạng đầu) của cấp số cộng

     d là công sai của cấp số cộng

Ví dụ: Tìm số hạng tổng quát của dãy (v_n):

Lời giải

Xét v_n - v_n-1 = 5 = const ⇒ (v_n) là cấp số cộng có v₁ = 4 và công sai d = 5.

Số hạng tổng quát là: v_n = v₁ + (n-1).d

⇔ v_n = 4 + (n-1).5

⇔ v_n = 4 + 5n - 5

⇔ v_n = 5n - 1.

2. Một số nhận xét liên quan đến số hạng tổng quát của cấp số cộng

+ Nếu (v_n)  là một cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi: v_n = v_n-1 + d (với n ≥ 2)

Chứng minh:

Ta có: v₂ = v₁ + d

v₃ = v₂ + d = v₁ + 2d

v₄ = v₃ + d = v₁ + 3d

v₅ = v₄ + d = v₁ + 4d

....

v_n = v_n-1 + d = v₁ + (n-1).d, với n ≥ 2

+ Cấp số cộng (v_n)  là một dãy số tăng nếu và chỉ nếu công sai d > 0 .

+ Cấp số cộng (v_n)  là một dãy số giảm nếu và chỉ nếu công sai d < 0 .

3. Các dạng toán về số hạng tổng quát của cấp số cộng lớp 11

3.1. Dạng toán 1: Chứng minh một dãy là một cấp số cộng

* Phương pháp giải:

Để chứng minh một dãy số (v_n) là một cấp số cộng, ta cần chứng minh v_n+1 - v_n = const, ∀n ∈ .

Câu 1: Chứng minh các dãy số hữu hạn sau là một cấp số cộng:

a) -6; -2; 2; 6; 10.

b) .

Câu 2: Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tìm số hạng đầu và công sai của nó.

a) Dãy số (v_n), với v_n = -3n - 2

b) Dãy số (a_n), với a_n =  

c) Dãy số (b_n), với b_n = 2022ⁿ

3.2. Dạng toán 2: Cách tính số hạng tổng quát của cấp số cộng

* Phương pháp giải:

Ta áp dụng các công thức:

+ Công thức truy hồi: v_n = v_n-1 + d với n ≥ 2

+ Công thức số hạng tổng quát: v_n = v₁ + (n-1).d với n ≥ 2

⇒ v₁ và d.

Câu 3: Cho cấp số cộng (v_n) có v₅ = 25 và v₁₅ = 125. Số hạng tổng quát của cấp số cộng trên là

A. v_n = 10n + 25, ∀n ∈ .

B. v_n = -15n + 10, ∀n ∈ .

C. v_n = 10n - 10, ∀n ∈ .

D. v_n = 10n - 25, ∀n ∈ .

Câu 4: Biết , số hạng tổng quát của dãy số (v_n) là

A. v_n = , ∀n ∈ .

B. v_n = , ∀n ∈ .

C. v_n = , ∀n ∈ .

D. v_n = , ∀n ∈ .

Câu 5: Cho dãy số (v_n) xác định bởi v₁ = 1, v_n+1 = , ∀n ∈ , tìm số hạng tổng quát của dãy (v_n)?

A. v_n =

B. v_n =

C. v_n =

D. v_n =

Câu 6: Cho dãy số có các số hạng đầu là -5; 0; 5; 10; 15; ... Số hạng tổng quát của dãy số trên là?

A. v_n = 5n + 5

B. v_n = 10n - 5

C. v_n = 5n + 10

D. v_n = 5n - 10

Trên đây là toàn bộ nội dung về công thức, các bài toán liên quan đến số hạng tổng quát của cấp số cộng. Ngoài ra, VOH Giáo Dục còn đưa ra các bài tập ứng dụng và lời giải chi tiết. Hy vọng các bạn nắm chắc và học phần này được suôn sẻ.

Biên soạn và chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang