Công bội của cấp số nhân: Định nghĩa, cách tìm và ứng dụng

Cấp số nhân là một nội dung kiến thức quan trọng trong chương trình môn Toán lớp 11 phần Đại số và Giải tích. Như vậy, cấp số nhân và công bội của cấp số nhân là gì? Làm sao để xác định được công bội của một cấp số nhân? Để có thể trả lời cho những câu hỏi nêu trên, chúng ta hãy cùng đi vào tìm hiểu bài viết sau đây.

1. Công bội của cấp số nhân là gì ?

+ Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và một số q không đổi, nghĩa là:

(u_n) là cấp số nhân n 2, u_n = u_n-1 . q

+ Số q trong công thức nêu trên được gọi là công bội của cấp số nhân

2. Cách tính công bội của cấp số nhân

2.1. Tìm công bội của cấp số nhân khi biết dạng tổng quát của dãy số cho trước

+ Cách làm:

• Xác định số hạng thứ nhất u₁ và số hạng thứ hai u₂ của dãy số
• Áp dụng công thức:  u₂ = u₁ . q  từ đó suy ra:  q =

Ví dụ: Biết dãy số (u_n) với u_n = (-3)ⁿ  là một cấp số nhân. Tìm công bội q của cấp số nhân đã cho?

Giải

+ Ta có: u₁ = (-3)¹ = -3 ;  u₂ = (-3)² = 9

+ Áp dụng công thức:  u₂ = u₁ . q

Suy ra: q = = = -3

Vậy, công bội của cấp số nhân là q = -3

2.2. Tìm công bội của cấp số nhân khi biết lần lượt các số hạng trong dãy số

+ Cách làm:

• Đề bài cho trực tiếp dãy số u₁, u₂, u₃, ....là một cấp số nhân.
• Để tìm công bội q ta áp dụng công thức: q =

Ví dụ: Biết dãy số -8, 40, -200, 1000 là một cấp số nhân. Tìm công bội q của cấp số nhân đã cho

Giải

+ Theo đề bài:  u₁ = -8 ;  u₂ = 40

+ Công bội của cấp số nhân đã cho là:

q = = = -5

2.3. Tìm công bội của cấp số nhân đựa theo định lí về số hạng tổng quát

+ Lý thuyết: Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu u₁ và công bội q 0 thì số hạng tổng quát u_n của nó được xác định bởi công thức:  u_n = u₁ . q^n-1

Ví dụ: Cho cấp số nhân (u_n) có công bội q > 0. Biết u₅ = 9 và u₇ = 36. Tìm công bội q của cấp số nhân.

Giải

+ Ta có:

u₅ = u₁ . q⁴ ;  u₇ = u₁ . q⁶

+ Lập tỉ số:

= q²

Mà = 4

Suy ra: q² = 4. Do đó, q = 2 (vì theo đề bài q > 0)

Vậy, công bội của cấp số nhân là q = 2

3. Bài tập về công bội của cấp số nhân

Bài 1: Biết (u_n) là cấp số nhân có u₁ = 5 ; u₂ = - 15. Công bội của cấp số nhân (u_n) là:

1. 3
2. -3
3. 5
4. -5

Bài 2: Trung bình cộng của số hạng thứ 3 và thứ 4 của cấp số nhân (u_n) là 25 , số hạng thứ 3 của cấp số nhân là một số chính phương nhỏ nhất có hai chữ số. Trong các phát biểu sau, phát biểu đúng là:

1. Công bội q của cấp số nhân (u_n) là một số lớn hơn 3
2. Công bội q của cấp số nhân (u_n) là một số bé hơn 2
3. Công bội q của cấp số nhân (u_n) là một số lớn hơn 2
4. Công bội q của cấp số nhân (u_n) là một số bé hơn 1

Bài 3: Biết dãy số (u_n) với u_n = 2.(- 5)ⁿ là một cấp số nhân có công bội q bằng:

1. 2
2. -2
3. 5
4. -5

Bài 4: Biết số hạng thứ 6 và số hạng thứ 9 của cấp số nhân (u_n) là:  u₆ = - 40, u₉ = -135 và cấp số nhân có công bội q > 0. Khi đó, công bội q của cấp số nhân (u_n) là:

1. Không thể xác định

Bài 5: Cấp số nhân (u_n) có công bội q < 0. Số hạng thứ 2 và số hạng thứ 4 lần lượt là:  u₂ = 14 ; u₄ = 56. Trong các phát biểu sau đây, phát biểu sai là:

1. Cấp số nhân (u_n) có công bội q = - 2
2. Cấp số nhân (u_n) có số hạng thứ 3 là u₃ = - 20
3. Cấp số nhân (u_n) có số hạng đầu là một số lớn hơn - 8
4. Cấp số nhân (u_n) có tổng số hạng thứ 3 và thứ 4 bằng 28

Mong rằng thông qua bài viết, các em có thể hiểu được thế nào là cấp số nhân và công bội của cấp số nhân. Đồng thời vận dụng vào việc giải quyết những bài tập cụ thể để xác định công bội của một cấp số nhân.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang