Công thức đạo hàm cấp cao & ứng dụng bài tập

Các bài trước các bạn đã làm quen với định nghĩa và các quy tắc tính đạo hàm cấp 1. Vậy đạo hàm cấp 2, cấp 3, cấp n được tính như thế nào? Có công thức tính đạo hàm cấp cao hay không? Cách bấm đạo hàm cấp cao? Hay ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai như thế nào? Chúng ta cùng tìm hiểu bài: đạo hàm cấp cao.

1. Đạo hàm cấp cao

1.1. Đạo hàm cấp hai

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x). Khi đó đạo hàm của hàm số f'(x) nếu có, được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số .

Kí hiệu: f''(x) hay y''. Viết: f''(x) = [f'(x)]'.

1.2. Đạo hàm cấp n

Theo mục 1.1, ta có: f''(x) = [f'(x)]'

tương tự f'''(x) = [f''(x)]'

f⁽⁴⁾(x) = [f'''(x)]'

f⁽⁵⁾(x) = [f⁽⁴⁾(x)]'

...

Tổng quát lên ta có định nghĩa sau: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp n - 1 (n ∈ N, n ≥ 4). Kí hiệu f^(n-1)(x). Nếu f^(n-1)(x) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f(x).

Kí hiệu: f⁽ⁿ⁾(x) hoặc y⁽ⁿ⁾. Viết: f⁽ⁿ⁾(x) = [f^(n-1)(x)]'.

1.3. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Xét một vật chuyển động xác định bởi phương trình s = f(t) với f(x) là hàm số có đạo hàm.

Khi đó gia tốc tức thời a của chuyển động tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) là a(t) = f''(t).

Chú ý: Vận tốc tức thời tại thời điểm t là v(t) = f'(t).

2. Công thức đạo hàm cấp cao

 

 

 

 , với a > 0

*Công thức Lepnit:

Nếu a và b là các hàm khả vi n lần thì:

(ab)⁽ⁿ⁾ =  

Trong đó:

là tổ hợp chập k của n phần tử.

3. Cách bấm máy tính đạo hàm cấp cao

Bài toán: Giả sử đề bài yêu cầu tính đạo hàm cấp 2 của hàm số y = f(x) tại x = x_o, ta thực hiện như sau:

• Bước 1: Ta tính đạo hàm cấp 1 của hàm số trên: y'

• Bước 2: Để tính được f''(x_o), ta dùng máy tính cầm tay và bấm:

SHIFT →  (nhập f'(x) và x_o) →  ta được kết quả cần tìm

Từ đó, ta có thể bấm máy tính các đạo hàm cấp 3, cấp 4,...

Ví dụ minh hoạ: Cho hàm số y = sin(2023x), kết quả của y''(0) là?

Giải

Ta tính: y' = [sin(2023x)]'

= 2023.cos2023x

Sử dụng máy tình cầm tay: SHIFT → →  ta được kết quả cần tìm là: 0

Vậy y''(0) = 0

*Chú ý: Khi giải bài toán đạo hàm mà hàm số là hàm lượng giác, các bạn cần đổi máy tính về chế độ   

4. Các dạng bài tập đạo hàm cấp cao

4.1. Dạng toán 1: Tính đạo hàm cấp cao bằng định nghĩa và công thức

*Phương pháp giải:

Cách 1: Tính đạo hàm cấp cao: Áp dụng trực tiếp định nghĩa:

f''(x) = [f'(x)]'

f'''(x) = [f''(x)]'

f⁽⁴⁾(x) = [f'''(x)]'

...

f⁽ⁿ⁾(x) = [f^(n-1)(x)]'

• Tính đạo hàm cấp n: Trước tiên ta tính đạo hàm cấp 1, cấp 2, … sau đó dự đoán công thức tổng quát của f⁽ⁿ⁾(x).

Cách 2: Áp dụng công thức đạo hàm cấp cao ở mục 2.

Câu 1: Tính đạo hàm cấp 2 bằng định nghĩa các hàm số dưới đây:

a) y = x²³.sinx

b) y = x²⁰²³ + cosx

c) y = (x+10)¹²

^{d) y =}  

Câu 2: Cho hàm số y = (5x-4)⁴ , kết quả của y'''(4) là

A. y'''(4) = -48000

B. y'''(4) = 48000

C. y'''(4) = 3000

D. y'''(4) = 7500

Câu 3: Cho hàm số y = sin²⁰²³x, kết quả của y⁽¹⁰⁾ là

A. y⁽¹⁰⁾ =  

B. y⁽¹⁰⁾ = 10.  

C. y⁽¹⁰⁾ = sinx

D. y⁽¹⁰⁾ = -  

Câu 4: Cho hàm số y = 2023^x, kết quả của y⁽⁵⁾(0) là:

A. y⁽⁵⁾(0) = 2023.ln⁵2023

B. y⁽⁵⁾(0) = 0

C. y⁽⁵⁾(0) = - ln⁵2023

D. y⁽⁵⁾(0) = ln⁵2023

Câu 5: Cho hàm số y = x²⁰ + cosx, hệ thức nào sau đây đúng?

A. y + y'' = x²⁰ + 380x¹⁸

B. y - y'' = x²⁰

C. y - y'' = x²⁰ + 380x¹⁸

D. y + y'' = x²⁰

4.2. Dạng toán 2: Các bài toán về ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

*Phương pháp giải: Áp dụng các công thức ở mục 1.3 để giải các bài toán này.

Câu 6: Phương trình chuyển động của một chất điểm s(t) = t⁴ + 5t³ - 19t - 2023 (s tính bằng mét, t tính bằng giây).Gia tốc tức thời tại thời điểm vận tốc bằng 0 có kết quả là?

A. 40

B. 52

C. 42

D. 24

Câu 7: Phương trình chuyển động của một chất điểm s(t) = 2t⁴ + 5t² - 2023 (s tính bằng mét, t tính bằng giây). Mệnh đề nào là mệnh đề sai?

A. Gia tốc của chuyển động khi t = 2s là a = 84 m/s²

B. Gia tốc của chuyển động khi t = 2s là a = 106 m/s²

C. Gia tốc của chuyển động khi t = 3s là a = 226 m/s²

D. Vận tốc của chuyển động khi t = 3s là a = 246 m/s

Trên đây là toàn bộ định nghĩa, công thức và các dạng toán hay gặp về đạo hàm cấp cao. Ngoài ra, có thêm cách giải và các bài tập về ý nghĩa của đạo hàm cấp 2, dạng toán này thường xuyên có trong các bài kiểm tra thường xuyên cũng như bài thi cuối kì. Chúc các bạn nắm chắc kiến thúc và thi đạt kết quả tốt. Bạn học thường xuyên theo dõi kênh VOH Giáo Dục để biết thêm nhiều kiến thức và các dạng toán bạn cần nhé.

Biên soạn và chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang