Công thức đạo hàm hàm hợp: Hiểu và áp dụng trong tính toán

Đạo hàm và cách tính đạo hàm là những nội dung quan trọng, được đề cập nhiều trong chương trình môn Toán lớp 11. Bài viết sau đây nhằm giới thiệu một số nội dung: khái niệm hàm hợp, cách tính đạo hàm hàm hợp và một số ví dụ minh họa. Để hiểu rõ hơn về nội dung chi tiết, chúng ta hãy cùng đi vào tìm hiểu bài viết sau đây.

1. Khái niệm hàm hợp

+ Cho hai hàm số y = f(u) và u = u(x). Thay thế biến u trong biểu thức f(u) bởi biểu thức u(x), ta được biểu thức f[u(x)] với biến x. Khi đó, hàm số y = g(x) với g(x) = f[u(x)] được gọi là hàm số hợp của hai hàm số f và u; hàm số u được gọi là hàm số trung gian.

+ Tập xác định của hàm số y = g(x) là tập các giá trị của x sao cho biểu thức f[u(x)] có nghĩa.

Ví dụ: Cho hai hàm số y = f(u) và u = u(x) trong đó: f(u) = 2u và u(x) = 5x + 1.

Ta có: f[u(x)] = 2(5x + 1) = 10x + 2.

Đặt g(x) = f[u(x)] = 10x + 2. Khi đó, g(x) là hàm hợp của hàm số f qua hàm số trung gian u.

Vì f[u(x)] là hàm đa thức nên tập xác định của hàm số g(x) là D = R.

2. Công thức đạo hàm hàm hợp

2.1. Công thức đạo hàm của hàm hợp tổng quát

+ Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm tại điểm x_o và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại điểm u_o = u(x_o) thì hàm số hợp g(x) = f[u(x)] có đạo hàm tại điểm x_o và:

g^'(x_o) = f^'(u_o).u^'(x_o)

+ Nếu giả thiết nêu trên thỏa mãn với mọi điểm x thuộc J thì hàm số hợp y = g(x) có đạo hàm trên J và:

g^'(x) = f^' [u(x)].u^'(x)

2.2. Công thức đạo hàm của hàm hợp đối với hàm lũy thừa

+ Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm trên J thì hàm số y = uⁿ(x) (với n N và n 2) có đạo hàm trên J. Khi đó:

[uⁿ(x)]^' = n.u^n-1(x).u^'(x).

+ Công thức trên được viết gọn là: 

(uⁿ)^' = n.u^n-1.u^'.

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số y = (3x³ - x)⁵.

Giải

Ta có:

y^' = [ (3x³ - x)⁵ ]^'

= 5.(3x³ - x)⁴.(3x³ - x)^'

= 5.(3x³ - x)⁴.(9x² - 1)

2.3. Công thức đạo hàm của hàm hợp đối với hàm căn bậc hai

+ Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm trên J và u(x) > 0 với mọi x J thì hàm số y = có đạo hàm trên J. Khi đó:

+ Công thức trên được viết gọn là:

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số y =

Giải

y^' =

=

=

3. Các dạng bài tập đạo hàm hàm hợp

3.1. Bài tập tính đạo hàm hàm hợp cơ bản

Bài 1: Hàm số y = (x³ - 3x + 2)² có đạo hàm là:

1. y^' = 2.(x³ - 3x + 2)
2. y^' = 2.(x³ - 3x + 2).(3x - 3)
3. y^' = 2.(x³ - 3x + 2).(3x² - 3)
4. y^' = 2.(x³ - 3x + 2).(3x² - 3x)

Bài 2: Hàm số y = có đạo hàm là: 

1. y^' =
2. y^' =
3. y^' =
4. y^' =

Bài 3: Hàm số y = x⁶ + 2 có đạo hàm là:

1. y^' = 6x⁶ +
2. y^' = 6x⁵ +
3. y^' = 6x⁵ +
4. y^' = 6x⁵ +

3.2. Bài tập tính đạo hàm hàm hợp tại một điểm

Bài 4: Đạo hàm của hàm số y = (2x³ + 5x)² tại điểm x_o = - 1 là:

1. y^'(- 1) = 154
2. y^'(- 1) = - 154
3. y^'(- 1) = 49
4. y^'(- 1) = - 49

Bài 5: Đạo hàm của hàm số y = tại điểm x_o = 2 là:

2. 2
4. 6

Bài 6: Hàm số y = f(x) = . Hỏi, với giá trị nào của x thì f^'(x) là một số nguyên?

1. x = 1
2. x = 2
3. x = 3
4. x = 4

3.3. Bài tập mở rộng về đạo hàm hàm hợp

Bài 7: Cho hàm số y = f(x) = (x³ + 12x)². Hỏi, có mấy giá trị của x_o để f^' (x_o) = 0 ?

1. Không có giá trị nào của x_o
2. Có 2 giá trị của x_o
3. Có 4 giá trị của x_o
4. Có 1 giá trị của x_o

Bài 8: Hàm số y = f(x) = x² + (3 - x)². Hỏi, với điều kiện nào của x thì f^'(x) là một số âm?

1. Không có giá trị nào của x thỏa mãn yêu cầu đề bài
2. x <
3. x <
4. x <

Mong rằng thông qua bài viết, các em có thể hiểu thế nào là hàm hợp cũng như cách tính đạo hàm hàm hợp. Đồng thời vận dụng vào giải quyết được nhiều bài tập liên quan hơn nữa.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang