Công thức tính đạo hàm của hàm số lượng giác chi tiết, đầy đủ

Trong toán học, đạo hàm của hàm số lượng giác đóng vai trò quan trọng trong việc tính toán và phân tích hàm số. Trong bài viết này, chúng ta sẽ đi sâu vào tìm hiểu về công thức tính đạo hàm của các hàm số lượng giác như sin, cos, tan và cot. Chúng ta sẽ xem xét từng trường hợp và giải thích cụ thể cách tính đạo hàm. Bài viết cũng cung cấp các ví dụ minh hoạ và ứng dụng thực tế giúp bạn hiểu rõ hơn về tính chất và ứng dụng của đạo hàm trong hàm số lượng giác.

1. Công thức đạo hàm của hàm số lượng giác

1.1. Đạo hàm của hàm số y = sinx

Hàm số y = sinx có đạo hàm tại mọi x ∈  

Công thức đạo hàm của hàm đơn: (sinx)' = cosx

Công thức đạo hàm của hàm hợp: (sinu)' = u'.cosu

Ví dụ minh hoạ: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = 2023.sinx

b) y = sin(2023x+10)

c) y = sin³(-5x+3)

Giải

a) y = 2023.sinx

y' = (2023.sinx)'

   = 2023.cosx

b) y = sin(2023x+10)

y' = [sin(2023x+10)]'

   = (2023x+10)'.cos(2023x+10)

   = 2023.cos(2023x+10)

c) y = sin³(-5x+3) 

y' = [sin³(-5x+3)]'

   = 3.[sin²(-5x+3)].[sin(-5x+3)]'

   = 3.[sin²(-5x+3)].(-5x+3)'.cos(-5x+3)

   = 3.[sin²(-5x+3)].(-5).cos(-5x+3)

   = -15[sin²(-5x+3)].cos(-5x+3)

1.2. Đạo hàm của hàm số y = cosx

Hàm số y = cosx có đạo hàm tại mọi x ∈  

Đạo hàm của hàm đơn: (cosx)' = - sinx

Đạo hàm của hàm hợp: (cosu)' = - u'.sinu

Ví dụ minh hoạ: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = -2022.cosx

b) y = 2cos(5+5x)

c) y = cos⁴(6x-1) 

Giải

a) y = -2022.cosx

y' = (-2022.cosx)'

   = (-2022).(-sinx)

   = 2022.sinx

b) y = 2cos(5+5x)

y' = [2cos(5+5x)]'

   = 2.[-(5+5x)'.sin(5+5x)]

   = -10.sin(5+5x)

c) y = cos⁴(6x-1)

y' = [cos⁴(6x-1)]'

   = 4.[cos³(6x-1)].[cos(6x-1)]'

   =  4.[cos³(6x-1)].[-(6x-1)'.sin(6x-1)]

   = 4.[cos³(6x-1)].(-6).sin(6x-1)

   = -24.[cos³(6x-1)].sin(6x-1)

1.3. Đạo hàm của hàm số y = tanx

Hàm số y = tanx có đạo hàm tại mọi x ≠  

Đạo hàm của hàm đơn: (tanx)' =  

Đạo hàm của hàm hợp: (tanu)' =  

Ví dụ minh hoạ: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = -tanx

b) y = tan(+x)

c) y = tan³(+x)

Giải

a) y = -tanx

y' = (-tanx)'

   =  

b) y = tan(+x)

y' = [tan(+x)]'

   =  

   =  

c) y = tan³(+x)

y' = [tan³(+x)]'

   = 3. [tan²(+x)].[tan(+x)]'

   = 3. [tan²(+x)]. 

   = 3. [tan²(+x)]. 

1.4. Đạo hàm của hàm số y = cotx

Hàm số y = cotx có đạo hàm tại mọi x ≠ kπ, k ∈  

Đạo hàm của hàm đơn: (cotx)' =  

Đạo hàm của hàm hợp: (cotu)' =  

Ví dụ minh hoạ: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = cot(x-)

b) y = cot⁵(2x)

Giải

a) y = cot(x-)

y' = [cot(x-)]'

   =  

   =  

b) y = cot⁵(2x)

y' = [cot⁵(2x)]'

   = 5.[cot⁴(2x)].[cot(2x)]'

   = 5.[cot⁴(2x)].

   = -10.[cot⁴(2x)].

2. Bài tập đạo hàm của hàm số lượng giác

Câu 1: Tính các đạo hàm sau:

a) y = 3sinx + cos(5-x)

b) y =  

c) y =  

d) y = tan⁵x + cos(12-2x)

e) y = cot(2-x³) + sin(3-x²)

Câu 2: Cho hàm số y = (x-1).sin(3-x). Kết quả của y'(3) là

A. y'(3) = -2

B. y'(3) = 2

C. y'(3) = 0

D. y'(3) = 1

Câu 3: Cho hàm số sau y = tan²⁰²³x, hàm số trên có đạo hàm bằng

A. y' = -2023. tan²⁰²²x. 

B. y' = 2023. tan²⁰²²x.  

C. y' = 2023. tan²⁰²²x

D. y' = 2023. tan²⁰²²x. 

Câu 4: Cho hàm số y = sin2023x. Hãy tìm nghiệm của phương trình y' = 0

A. x =  

B. x =  

C. x =  

D. x =  

Câu 5: Cho hàm số y = 4tanx + 6cotx. Kết quả của y'() là:

A. y'() = 0

B. y'() = 4

C. y'() = -4

D. y'() = 1

Câu 6: Cho hàm số y = . Kết quả của y'(π) là:

A. y'(π) =  

B. y'(π) = 1

C. y'(π) = 1 + 2π

D. y'(π) = 1 - 2π

Câu 7: Cho hàm số y = 2023cosx + 2023x. Phương trình y' = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc (-π;π)?

A. 2

B. 1

C. 4

D. 3

Trên đây là toàn bộ các công thức đạo hàm của hàm số lượng giác cần nhớ cùng các bài toán đa dạng và lời giải cụ thể. VOH Giáo Dục hy vọng các bạn nắm chắc nội dung này và hoàn thành tốt các bài kiểm tra sắp tới. Chúc các bạn đạt kết quả cao.

Biên soạn và chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang